Question

Сколько отрицательных чисел в последовательности sin(10^n)∘ (где n=0,1,…,2018)?

Answer 1

$\sin1^\circ$, $\sin10^\circ$ и $\sin100^\circ$ – очевидно, положительные. Рассмотрим n > 2. Заметим, что

$10^n=10+90\cdot \underbrace{111\dots111}_{n-1}=10+90\cdot111\dots100+90\cdot11$

Второе слагаемое не влияет на значение синуса: это некоторое количество полных оборотов по 360 градусов. Со третьим слагаемым помогают формулы приведения, будем иметь

$\sin (10^\circ+90^\circ\cdot11)=-\cos10^\circ$

Ответ. 2018 - 2 = 2016

Answer 2

Для того чтобы определить, сколько отрицательных чисел в последовательности sin(10^n) для n=0, 1, ..., 2018, давайте рассмотрим значения синуса для различных значений n.

sin(10^0) = sin(1) ≈ 0.84147 sin(10^1) = sin(10) ≈ -0.54402 sin(10^2) = sin(100) ≈ -0.50637 sin(10^3) = sin(1000) ≈ 0.82682 sin(10^4) = sin(10000) ≈ 0.29552 ... и так далее.

Мы видим, что sin(10) и sin(100) отрицательны, а затем sin(1000), sin(10000) и так далее положительны. Поскольку значение sin(x) периодически повторяется с периодом 2π, мы замечаем, что sin(10^n) будет отрицательным только для некоторых значений n.

В данном случае, sin(10^n) отрицателен для n=1 и n=2, а для всех остальных значений n в диапазоне от 0 до 2018, sin(10^n) положителен.

Таким образом, в последовательности sin(10^n) для n=0, 1, ..., 2018 ровно два отрицательных числа.