Question

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что AB=CM. Найдите величину угла ACB.

Answer 1

....................................................................................

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся свойством пересекающихся высот в остроугольном треугольнике. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника.

Обозначим длину высоты из вершины A как h_A, из вершины B как h_B, и из вершины C как h_C. Из условия задачи известно, что AB = CM.

Также, в остроугольном треугольнике высоты будут делить стороны на отрезки, пропорциональные другим сторонам. То есть:

AB / BC = h_C / h_A

Из условия AB = CM:

CM / BC = h_C / h_B

Теперь, объединим эти два уравнения:

AB / BC = CM / BC (h_C / h_A) = (h_C / h_B)

Так как h_C не равно 0 (высоты ненулевые), можно сократить h_C на обеих сторонах:

h_A = h_B

Таким образом, получается, что высоты из вершин A и B равны между собой. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, с основанием AC и равными углами при вершинах A и B.

Теперь рассмотрим угол ACB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол ACB равен углу CAB, обозначим его как α.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, получаем:

α + α + угол ABC = 180° 2α + угол ABC = 180° угол ABC = 180° - 2α

Теперь нам нужно определить угол α. Для этого воспользуемся свойством треугольника, сумма углов которого равна 180°:

α + угол CAB + угол ABC = 180° α + α + 180° - 2α = 180° 2α - 2α + 180° = 180° 180° = 180°

Мы видим, что уравнение выполняется для любого значения α. Таким образом, угол α может быть любым. В частности, если угол α равен 90°, то угол ACB равен:

угол ACB = 180° - 2α = 180° - 2 * 90° = 180° - 180° = 0°

Таким образом, величина угла ACB равна 0°.