Question

Какой остаток при делении 2^2019 на 7? Мне нужен остаток (например 9:2=4 ост.1)

Answer 1

Возможные остатки деления на 7: 1;2;3;4;5;6. Это степень двойки => остатки либо 1;2;4.

Точно остаток не 2 и не 4, т.к. при упрощении по свойству степени он не сократится. Значит остаток =1

Answer 2

Для вычисления остатка при делении большого числа на другое, часто используется теорема остатков, которая гласит:

Если a и b - целые числа, b > 0, и существует натуральное число n, при котором a = bn + r (r - остаток), то a mod b = r.

Таким образом, чтобы найти остаток от деления 2^2019 на 7, нам нужно представить 2^2019 в виде произведения некоторого числа на 7 плюс остаток.

К сожалению, вычислить 2^2019 напрямую вручную очень сложно из-за большого количества цифр. Однако, мы можем воспользоваться свойствами остатков и попробовать найти периодический закон для остатков степеней числа 2 при делении на 7.

Заметим, что при делении первых нескольких степеней 2 на 7 получаем следующие остатки: 2^1 mod 7 = 2 2^2 mod 7 = 4 2^3 mod 7 = 1 2^4 mod 7 = 2 ...

Мы видим, что остатки 2^1, 2^2 и 2^4 снова повторяются. Это означает, что остатки степеней числа 2 будут повторяться с периодом 3 (1, 2, 4) при делении на 7.

Теперь давайте разделим 2019 на 3, чтобы определить, в какой части периода находится степень 2^2019: 2019 ÷ 3 = 673 с остатком 0.

Это означает, что 2^2019 находится в конце периода и имеет тот же остаток, что и последнее число в периоде, то есть 2^4 mod 7 = 2.

Таким образом, остаток от деления 2^2019 на 7 равен 2.