Question

Y=(x-1)^2 y=0 x=0 помогите найти площадь фигуры с ограниченными линиями

Answer 1

Площадь фигуры - интеграл разности функций.

Пределы интегрирования:  a = 1, b = 0.

F1(x) = 0,  F2(x) = (x-1)² = x² - 2x + 1

$S=\int\limits^1_0 {1 -x^2} \, dx=1-\frac{x^3}{3} = \frac{1}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры ограниченной кривыми Y=(x-1)^2, y=0 и x=0, нам нужно определить границы интегрирования по осям x и y.

1. Найдем точки пересечения кривых:

   • Y=(x-1)^2 и y=0: Приравняем уравнение y=0 к уравнению Y=(x-1)^2: 0 = (x-1)^2 Из этого уравнения получаем x=1 (двукратный корень). Таким образом, кривая Y=(x-1)^2 пересекает ось x в точке x=1.

   • Y=(x-1)^2 и x=0: Подставим x=0 в уравнение Y=(x-1)^2: Y = (-1)^2 = 1 Таким образом, кривая Y=(x-1)^2 пересекает ось y в точке y=1.

   • y=0 и x=0: Это две прямые оси, которые пересекаются в начале координат (0,0).

2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения, определим границы интегрирования по осям x и y:

   • По оси x, интегрирование будет проходить от x=0 до x=1, так как это границы пересечения кривых Y=(x-1)^2 и x=0.
   • По оси y, интегрирование будет проходить от y=0 до y=1, так как это границы пересечения кривых Y=(x-1)^2 и y=0.

3. Теперь найдем площадь фигуры, используя определенные границы интегрирования: Площадь = ∫[x=0 to 1] ∫[y=0 to 1] dy dx

Теперь выполним двойной интеграл:

∫[x=0 to 1] ∫[y=0 to 1] dy dx = ∫[x=0 to 1] [y] dy dx = ∫[x=0 to 1] [y] |[y=0 to 1] dx = ∫[x=0 to 1] (1 - 0) dx = ∫[x=0 to 1] dx = [x] |[x=0 to 1] = 1 - 0 = 1

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми Y=(x-1)^2, y=0 и x=0, равна 1 квадратному узлу.