Question

Найдите наибольшее натуральное n, для которого выполнено неравенство n^56 < 81^35

Answer 1

$n^{56} < {81} ^{35} \\ n^{56} < {9} ^{70} \\ {n}^{4 \times 7 \times 2} < {9}^{5 \times 7 \times 2} \\ {n}^{4} < {9}^{5} \\ n < \sqrt[4]{ {9}^{4} \times 9} \\ n < 9 \sqrt[4]{9} \\ n < 9 \sqrt{3} \\ 9 \sqrt{3} ≈15.58$
поэтому наибольшее натуральное n=15

Answer 2

Для неравенства $n^{56} < 81^{35}$, нужно найти наибольшее натуральное $n$, для которого оно выполняется.

Чтобы сравнить два числа, можно привести их к общему основанию. В данном случае $81 = 3^4$, поэтому:

$81^{35} = (3^4)^{35} = 3^{4 \cdot 35} = 3^{140}$.

Теперь у нас есть неравенство $n^{56} < 3^{140}$. Чтобы продолжить, сравним $n^{56}$ и $3^{140}$ с помощью логарифмов.

Прологарифмируем обе части неравенства по натуральному основанию (ln):

$ln(n^{56}) < ln(3^{140})$.

Теперь можно применить свойство логарифма $ln(a^b) = b \cdot ln(a)$:

$56 \cdot ln(n) < 140 \cdot ln(3)$.

Теперь разделим обе стороны на $ln(3)$:

$56 \cdot \frac{ln(n)}{ln(3)} < 140$.

И, наконец, выразим $n$:

$ln(n) < \frac{140 \cdot ln(3)}{56}$.

Вычислим правую сторону:

$ln(n) < \frac{140 \cdot ln(3)}{56} \approx 6.55062$.

Теперь найдем $n$ с помощью экспоненты:

$n < e^{6.55062}$.

Вычислим $e^{6.55062} \approx 699.32$.

Таким образом, наибольшее натуральное $n$, для которого выполняется неравенство $n^{56} < 81^{35}$, равно $n = 699$.