Question

помогите решить задачу даю 35балов плиззз на доске написано 5 двузначных натуральных чисел Чебурашка каждую минуту прибавляет ко всем числам единицу или двойку после того как Чебурашка увеличивает число крокодила Гены может стереть какой-нибудь число делящееся на 13 или число Сумма цифр которого делится на 7.Докажите что при любых действия чебурашки гена через некоторое время стереть с доски все числа.

Answer 1

Гена может найти пять пар не более чем пятизначных соседних чисел, так, чтобы в каждой паре он мог стереть любое число. Чебурашка сможет «провести» через одну такую пару не более одного числа, а значит все пять чисел Гена сможет стереть.

Подобных пар очень много, например годятся пары 142 и 143, 312 и 313, 3120 и 3121, 1312 и 1313, 69999 и 70000…

Answer 2

Для доказательства, что Чебурашка и Гена могут стереть с доски все числа, нужно показать, что после определенного количества операций числа, которые удовлетворяют условиям (деление на 13 или сумма цифр делится на 7), будут стерты, а оставшиеся числа все равно можно будет увеличивать до тех пор, пока все числа не стертятся.

Давайте рассмотрим двузначные числа и их возможные состояния после действий Чебурашки и Гены:

1. Число, кратное 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Через каждую минуту кратное 13 число будет увеличиваться на 1 или 2, и также останется кратным 13.

2. Число, сумма цифр которого делится на 7: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 72, 81, 90. После каждой минуты такое число также увеличится на 1 или 2, но сумма его цифр также будет увеличиваться, и число останется с суммой цифр, которая делится на 7.

3. Оставшиеся двузначные числа: 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, ..., 99. После каждой минуты такие числа будут увеличиваться на 1 или 2, и рано или поздно станут трехзначными числами.

Теперь рассмотрим возможности действий Гены:

1. Гена может стереть число, кратное 13 или число с суммой цифр, которая делится на 7. Пусть он стирает все такие числа.

2. Оставшиеся числа (двузначные числа без условий кратности 13 или деления на 7) будут увеличиваться на 1 или 2 после каждой минуты. Поскольку у нас осталось только ограниченное количество двузначных чисел, рано или поздно все они станут трехзначными.

Таким образом, после того как Гена стереть все числа, которые подпадают под условия кратности 13 или деления на 7, Чебурашка будет продолжать увеличивать оставшиеся числа. Все оставшиеся двузначные числа в конечном итоге станут трехзначными, и никакие новые двузначные числа не появятся.

Поскольку у нас есть только ограниченное количество чисел, а каждую минуту их количество уменьшается, рано или поздно все числа будут стерты, и доска останется пустой.

Таким образом, можно утверждать, что при любых действиях Чебурашки и Гены через некоторое время они смогут стереть все числа с доски.