Question

Найдите область значений функции y=(x²+1)/x² Помогите, пожалуйста) Если не сложно, то с решением) Буду очень благодарна

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения области значений функции нужно определить, какие значения может принимать y в зависимости от значения x. В данном случае, у нас есть функция:

y = (x² + 1) / x²

Чтобы найти область значений, рассмотрим, как изменяется функция в зависимости от значения x.

1. Заметим, что x ≠ 0, так как в знаменателе функции стоит x², и мы не можем делить на ноль.

2. Рассмотрим, что происходит с функцией, когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

Когда x стремится к бесконечности (положительной или отрицательной), все слагаемые с x² становятся доминирующими, и можно произвести приближенное вычисление:

При x → +∞: y → (x² + 1) / x² → (x² / x²) + (1 / x²) → 1 + 0 → 1

При x → -∞: y → (x² + 1) / x² → (x² / x²) + (1 / x²) → 1 + 0 → 1

Таким образом, при стремлении x к бесконечности, значение функции y стремится к 1.

3. Заметим также, что функция не может принимать значения меньше или равные нулю, так как числитель функции всегда положителен (x² + 1 ≥ 1, и для положительных x это значение будет больше 1). А значит, y > 0.

Таким образом, область значений функции y = (x² + 1) / x² - это все положительные числа, кроме нуля, и единица.

Математически это можно записать так: y ∈ (0, 1] ∪ {1}. Где символ "∈" означает "принадлежит", а { } используется для обозначения множества значений, в данном случае, множество содержит только число 1.