Question

Докажите что число 11... 1 записаное 2013 единицами делится на 37

Answer 1

111/37 =3

111111111111111=3003003003003

111111111111111111111111111111111111111111111=3003003003003003003003003003003003003003003

1111...1/37=300300300300300300300300...003003003003

Answer 2

Для доказательства того, что число, записанное 2013 единицами (11...1, где 1 повторяется 2013 раз), делится на 37, можно воспользоваться теорией остатков.

Заметим, что число 11...1, состоящее из n единиц, можно представить следующим образом: 11...1 = 10^n + 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10^2 + 10 + 1

Теперь, давайте рассмотрим числа 10^n для n = 0, 1, 2, ..., 2012. Мы знаем, что 10^n имеет остаток 1 при делении на 37, т.е., 10^n ≡ 1 (mod 37).

Таким образом, 11...1, состоящее из 2013 единиц, может быть представлено следующим образом: 11...1 ≡ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (2013 раз) ≡ 2013 (mod 37)

Теперь, чтобы узнать, делится ли 2013 на 37, рассмотрим остаток от деления 2013 на 37: 2013 ≡ 17 (mod 37)

Таким образом, мы получили, что 11...1, состоящее из 2013 единиц, имеет остаток 17 при делении на 37.

Но это еще не полный ответ. Для того чтобы доказать, что число делится на 37, необходимо убедиться, что оно имеет остаток 0 при делении на 37.

Так как 2013 ≡ 17 (mod 37), то можно представить 2013 как 37 * q + 17, где q - целое число.

Теперь рассмотрим число 11...1, состоящее из 2013 единиц, и выразим его через представление 2013: 11...1 = 10^2013 - 1 = (10^37)^q * 10^17 - 1

Мы знаем, что 10^37 ≡ 1 (mod 37) (это следует из малой теоремы Ферма). Таким образом, можно записать: 11...1 ≡ 1^q * 10^17 - 1 ≡ 10^17 - 1 (mod 37)

Теперь, чтобы узнать остаток от деления 10^17 на 37, рассмотрим: 10^17 ≡ (10^37)^{17/37} ≡ 1^{17/37} ≡ 1 (mod 37)

Таким образом, 11...1, состоящее из 2013 единиц, может быть записано как 10^17 - 1, где 10^17 имеет остаток 1 при делении на 37. Следовательно: 11...1 ≡ 10^17 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 37)

Мы получили, что 11...1 делится на 37 без остатка. Таким образом, число, записанное 2013 единицами, действительно делится на 37.