Question

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. y=4x(в квадрате) y=-2x+2

Answer 1

Вот собственно и всё.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = 4x^2 и y = -2x + 2, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл площади между ними. Первым шагом будет найти точки пересечения.

1. Найдем точки пересечения двух функций: Приравняем выражения y и найдем значение x: 4x^2 = -2x + 2

2. Приведем уравнение к стандартному виду: 4x^2 + 2x - 2 = 0

3. Решим квадратное уравнение для x: Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

где a = 4, b = 2 и c = -2

D = 2^2 - 4 * 4 * (-2) = 4 + 32 = 36

Теперь найдем значения x: x = (-b ± √D) / 2a

x = (-2 ± √36) / 2 * 4

x = (-2 ± 6) / 8

Таким образом, получим два значения x: x₁ = (6 - 2) / 8 = 4 / 8 = 0.5 x₂ = (-2 - 6) / 8 = -8 / 8 = -1

4. Найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в одно из уравнений: y = 4 * (0.5)^2 = 4 * 0.25 = 1 y = 4 * (-1)^2 = 4 * 1 = 4

Таким образом, точки пересечения двух функций: (0.5, 1) и (-1, 4).

5. Теперь, чтобы найти площадь фигуры между графиками функций, нужно вычислить определенный интеграл от y = 4x^2 до y = -2x + 2 на интервале между x = -1 и x = 0.5:

Площадь = ∫[от -1 до 0.5] [(-2x + 2) - (4x^2)] dx

Вычислим интеграл:

∫[от -1 до 0.5] [(-2x + 2) - (4x^2)] dx = ∫[от -1 до 0.5] [-2x + 2 - 4x^2] dx = [-x^2 + 2x^2 - (4/3)x^3] от -1 до 0.5 = [-0.5^2 + 2 * 0.5^2 - (4/3) * 0.5^3] - [(-1)^2 + 2 * (-1)^2 - (4/3) * (-1)^3] = [-0.25 + 2 * 0.25 - (4/3) * 0.125] - [1 + 2 - (4/3)] = [-0.25 + 0.5 - 0.125] - [1 + 2 - (4/3)] = [0.125] - [1.333] ≈ -1.208

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, примерно равна 1.208 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь всегда положительна, поэтому значение будет абсолютной величиной.