Question

Шахматная доска разрезана на доминошки из двух клеток. Докажите, что можно выбрать две из них так, чтобы они образовывали квадрат 2x2.

Answer 1

Каждая клетка шахматной доски окружена с 4 сторон клетками противоположного цвета, значит, каждая доминошка будет состоять из двух цветов. Положим одну доминошку произвольно и приставм к ней другую - если не будет получаться чередовани цветов в шахматном порядке, то любую из них можно просто перевернуть.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение. Для этого рассмотрим шахматную доску, которая состоит из черных и белых клеток, и попробуем разместить на ней доминошки из двух клеток. Мы заметим, что на любой шахматной доске количество черных и белых клеток равно.

Предположим, что мы разместили доминошки на доске, и все они расположены горизонтально. Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Две доминошки размещены на двух соседних строках (горизонтально).
2. Две доминошки размещены на двух соседних столбцах (вертикально).

Посмотрим на эти два случая более подробно:

1. Размещение доминошек на двух соседних строках:

   Copy code
   ЧЧЧЧЧЧ
   БББББББ
   ЧЧЧЧЧЧ
   БББББББ
   

   Здесь Ч обозначает черную клетку, а Б - белую клетку. Видно, что два домино образуют квадрат 2x2.

2. Размещение доминошек на двух соседних столбцах:

   Copy code
   ЧБЧБЧБ
   ЧБЧБЧБ
   ЧБЧБЧБ
   ЧБЧБЧБ
   

   Здесь также Ч обозначает черную клетку, а Б - белую клетку. В этом случае также есть квадрат 2x2, образованный двумя доминошками.

Мы рассмотрели оба случая и убедились, что в обоих случаях можно найти квадрат 2x2, образованный двумя доминошками. Теперь давайте обратим внимание на то, что если бы у нас не было квадрата 2x2, то количество черных и белых клеток на доске было бы разным, что противоречит изначальному предположению.

Таким образом, мы доказали, что на шахматной доске, разрезанной на доминошки из двух клеток, можно выбрать две из них так, чтобы они образовывали квадрат 2x2.