Question

а) В зале музея стоят по кругу 5 одинаковых шкатулок. Каждый вечер начальник охраны запирает две шкатулки по своему выбору, положив в одну из них бесценный алмаз. Подкупленный работник музея видит действия начальника и хочет оставить взломщику подсказку, где алмаз. Для этого он открывает крышки ровно у двух незапертых шкатулок, а остальные не трогает. Как ему заранее договориться со взломщиком, чтобы тот, придя ночью в музей и увидев, у каких двух шкатулок открыты крышки, сразу понял, где лежит алмаз? б) Та же задача, но в зале стоят по кругу 33 шкатулки, начальник запирает 16 шкатулок, положив в одну алмаз; взломщик должен понять, где алмаз, по двум шкатулкам, у которых открыты крышки.

Answer 1

а)Если между закрытыми шкатулками лежит ровно одна шкатулка, откроем две шкатулки так, чтобы шкатулка с алмазом лежала между открытыми. Если закрытые шкатулки стоят рядом, откроем две соседние шкатулки, чтобы шкатулка с алмазом находилась в вершине равнобедренного треугольника, образованного ими.

б)Достраивается из предыдущей. Пусть было 2n + 1 шкатулок, из которых закрыты n, тогда закрытых шкатулок без алмаза будет n-1. Разобьём все шкатулки кроме шкатулки с алмазом на пары шкатулок, лежащих в вершинах при основании р/б треугольника с вершиной в шкатулке с алмазом. Получилось n пар, в одной из них две незакрытые шкатулки. Откроем их.

Answer 2

а) Для решения этой задачи работник музея может договориться с взломщиком заранее следующим образом:

1. Работник пронумеровывает шкатулки числами от 1 до 5.
2. В каждую из двух открытых шкатулок работник кладет по камню из различных полезных ископаемых (не алмаз).
3. Если алмаз находится в шкатулке с номером Х, то второй открытой шкатулкой будет шкатулка с номером (Х+1) mod 5 (где "mod" - операция взятия остатка от деления).

Таким образом, когда взломщик придет ночью в музей и увидит две открытые шкатулки с номерами Y и Z, он знает, что алмаз находится в шкатулке с номером (Y-1) mod 5 или (Z-1) mod 5.

Пример: Пусть алмаз находится в шкатулке под номером 3 (Х=3). Работник открывает шкатулки под номерами 1 и 4 (Шкатулки с номерами (Х-1) mod 5 и (Х+1) mod 5). Взломщик видит открытые шкатулки 1 и 4 и понимает, что алмаз может быть в шкатулке 2 ((1-1) mod 5) или 3 ((4+1) mod 5).

б) Для случая с 33 шкатулками можно использовать аналогичную стратегию:

1. Работник пронумеровывает шкатулки числами от 1 до 33.
2. В каждую из двух открытых шкатулок работник кладет по камню из различных полезных ископаемых (не алмаз).
3. Если алмаз находится в шкатулке с номером Х, то второй открытой шкатулкой будет шкатулка с номером (Х+1) mod 33 (где "mod" - операция взятия остатка от деления).

Таким образом, когда взломщик придет ночью в музей и увидит две открытые шкатулки с номерами Y и Z, он знает, что алмаз находится в шкатулке с номером (Y-1) mod 33 или (Z-1) mod 33.

Обратите внимание, что взломщик должен быть знаком с этой системой нумерации и понимать, что значения "mod 33" означают.