Question

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел no цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0.2, а при каждом последующем - 0.7 Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.97?

Answer 1

1) Пусть первый выстрел был мимо, вероятность = 0.8

2)Пусть и второй выстрел был мимо, вероятность = 0.8 * 0.3 = 0.24 (вероятность попасть = 1 - 0.24 = 0.76 < 0.97)

3) Пусть третий выстрел тоже был мимо, вероятность на это = 0.24*0.3 = 0.072 (вероятность попасть 1 - 0.072 = 0.928 < 0.97)

4) Наконец, пусть четвертый был промахом, вероятность = 0.072 * 0.3 = 0.0216 (Вероятность попасть = 1 - 0.0216 = 0.9784 > 0.97).

Значит, выстрелить надо 4 раза, чтобы вероятность была не менее 0.97

Answer 2

Давайте рассчитаем, сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.97.

Пусть: P1 - вероятность уничтожения цели при первом выстреле (0.2), Pn - вероятность уничтожения цели при последующих выстрелах (0.7), n - количество выстрелов.

Вероятность не уничтожения цели после одного выстрела: Q1 = 1 - P1 = 1 - 0.2 = 0.8

Вероятность не уничтожения цели после n выстрелов: Qn = (вероятность не уничтожения после первого выстрела) * (вероятность не уничтожения после второго выстрела) * ... * (вероятность не уничтожения после n-го выстрела) Qn = Q1^n

Теперь, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.97, вероятность не уничтожения должна быть не более 0.03 (1 - 0.97 = 0.03):

Qn ≤ 0.03

Q1^n ≤ 0.03

0.8^n ≤ 0.03

Теперь найдем значение n:

n * log(0.8) ≤ log(0.03)

n ≥ log(0.03) / log(0.8)

n ≥ 22.7

Так как нельзя делать дробное количество выстрелов, округлим значение n до ближайшего целого числа, и получим, что потребуется 23 выстрела, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.97.