Question

Определить черность функции f(x)=2sinx×cosx

Answer 1

F(-x)=-f(x) значит функция не четная
при х=0 f(0)=0 проходит через начало координат

Answer 2

Для определения черности функции f(x) = 2sin(x) × cos(x) необходимо найти ее производную и проанализировать значения производной на различных интервалах.

Первым шагом найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx [2sin(x) × cos(x)]

Для вычисления производной произведения функций применяем правило производной произведения:

(fg)' = f'g + fg'

где f' - производная первой функции, g' - производная второй функции.

f'(x) = 2cos(x) × cos(x) + 2sin(x) × (-sin(x)) f'(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 0

Разделим на 2:

cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Используем тригонометрическое тождество cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x):

cos(2x) = 0

Это тождество выполняется при значениях 2x = π/2 + πk, где k - целое число.

Таким образом, точки, в которых производная функции равна нулю, имеют вид:

x = (π/2 + πk)/2, где k - целое число.

Анализируем знак производной на различных интервалах:

1. Интервал (-∞, (π/2 - π)/2): Здесь производная f'(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x) > 0, так как cos^2(x) > sin^2(x) для всех x на этом интервале. Значит, функция возрастает на этом интервале.

2. Интервал ((π/2 - π)/2, (π/2 + π)/2): Здесь производная f'(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 0 при x = (π/2 + πk)/2. На этом интервале производная меняет знак, и, следовательно, функция также меняет направление своего роста (переходит из возрастания в убывание).

3. Интервал ((π/2 + π)/2, (3π/2 - π)/2): Здесь производная f'(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x) < 0, так как cos^2(x) < sin^2(x) для всех x на этом интервале. Значит, функция убывает на этом интервале.

4. Интервал ((3π/2 - π)/2, (3π/2 + π)/2): Здесь производная f'(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 0 при x = (π/2 + πk)/2. На этом интервале производная снова меняет знак, и функция снова меняет направление своего роста (переходит из убывания в возрастание).

5. Интервал ((3π/2 + π)/2, +∞): Здесь производная f'(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x) > 0, так как cos^2(x) > sin^2(x) для всех x на этом интервале. Значит, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция f(x) = 2sin(x) × cos(x) чернее на интервалах ((π/2 - π)/2, (π/2 + π)/2) и ((3π/2 - π)/2, (3π/2 + π)/2), а на остальных интервалах она белее. Точки, где функция меняет свою черноту, соответствуют значениям x = (π/2 + πk)/2, где k - целое число.