Question

Как доказать, что квадрат любого числа не заканчивается 99, 999, 9999 и т. д.

Answer 1

Известно, что две последние правые цифры полного квадрата разной четности, а в выписанных числах обе последние правые цифры нечетные. Поэтому ни одно из них не квадрат.

Answer 2

Чтобы доказать, что квадрат любого числа не заканчивается на последовательность 99, 999, 9999 и так далее, можно воспользоваться методом математической индукции. Математическая индукция - это метод математического доказательства, используемый для утверждений, зависящих от натурального числа n.

Давайте докажем утверждение для последовательности 99, а затем обобщим его на случай, когда последовательность состоит из нескольких девяток.

Шаг 1: Докажем утверждение для последовательности 99. Предположим, что у нас есть некоторое натуральное число n. Пусть k - это квадрат этого числа (k = n^2).

Тогда нам нужно доказать, что квадрат k не заканчивается на 99. Мы можем представить квадрат k как (10m + n)^2, где m - это некоторое целое число, а n - это последние две цифры числа n.

Тогда квадрат k можно записать как: k = (10m + n)^2 = 100m^2 + 20mn + n^2.

Шаг 2: Рассмотрим три возможных случая для значения n: а) Если n оканчивается на 1, то n^2 заканчивается на 01. б) Если n оканчивается на 2, то n^2 заканчивается на 04. в) Если n оканчивается на 3, то n^2 заканчивается на 09.

(Вы можете проверить эти случаи, возведя числа от 1 до 9 в квадрат.)

Шаг 3: Теперь, поскольку в каждом из трех случаев последние две цифры квадрата k имеют значение, отличное от 99, мы можем сделать вывод, что квадрат любого числа, оканчивающегося на 1, 2 или 3, также не заканчивается на 99.

Обобщение на случай, когда последовательность состоит из нескольких девяток: Последовательность 99 - это просто один из случаев, когда последние две цифры n^2 являются 99. Обобщение этого доказательства на случай, когда последовательность состоит из нескольких девяток, происходит из того, что квадрат любого числа n оканчивается теми же двумя цифрами, что и n. Таким образом, если последние две цифры n равны 99, то и последние две цифры n^2 также будут 99.

Таким образом, доказано, что квадрат любого числа не заканчивается на последовательность 99, 999, 9999 и так далее.