Question

Вычислить предел lim (x стремящ. к 0) sin 5x / 3x

Answer 1

lim (x->0) sin(5x) / 3x

При малых х sin(x) ~ x, поэтому

lim (x->0) sin(5x) / 3x = lim (x->0) 5x / 3x = 5/3

Answer 2

Для вычисления предела функции при x стремящемся к 0, можно использовать правило Лопиталя, если предел имеет форму "0/0" или "бесконечность/бесконечность". В данном случае, у нас имеется именно форма "0/0".

Применяя правило Лопиталя, для функции sin(5x) / (3x), вычислим предел, делая производные числителя и знаменателя по переменной x:

1. Найдем производную числителя: d/dx (sin(5x)) = 5cos(5x)

2. Найдем производную знаменателя: d/dx (3x) = 3

Теперь возьмем предел от отношения производных при x стремящемся к 0:

lim (x стремящ. к 0) 5cos(5x) / 3 = 5 * cos(0) / 3 = 5/3.

Таким образом, предел функции sin(5x) / (3x) при x стремящемся к 0 равен 5/3.