Question

Вычислить объем тела вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной графиками функций Напишите подробное решение

Answer 1

Объем тела вращения по формуле:

$V(x)=\pi *\int\limits^1_0 {y^2(x)} \, dx$

Y²(x) = (-x² + 5x)² = x⁴ - 10*x³ + 25*x²

$V(x)=\pi \int\limits^1_0 {(x^4-10*x^3+25x^2)} \, dx =\pi*(\frac{x^5}{5}- \frac{10x^4}{4}+ \frac{25x^3}{3})$

V(1)= π*(1/5 - 10/4 + 25/3) = 6 1/30*π ,  V(0) = 0

ОТВЕТ: V = 6 1/30 π - объем.

Рисунок ТЕЛА - в приложении.

Answer 2

Для вычисления объема тела вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной графиками функций, нам необходимо знать уравнения этих функций и интервал, на котором происходит вращение. Для примера, давайте рассмотрим процесс вычисления объема тела вращения вокруг оси ОХ для фигуры, ограниченной графиками функций y = f(x) и y = g(x) на интервале [a, b].

1. Найдите точки пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x) на интервале [a, b]. Пусть точки пересечения имеют координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂).

2. Рассмотрим "кусочки" фигуры, ограниченные вертикальными линиями x = x₁ и x = x₂. Для каждого кусочка определим его площадь сечения на оси ОХ.

3. Представьте кусочки в виде дисков, полученных вращением каждого кусочка вокруг оси ОХ.

4. Найдите объем каждого диска, используя формулу объема цилиндра: V = π * r^2 * h, где r - радиус диска (расстояние от графика функции до оси ОХ), h - высота диска (длина кусочка фигуры).

5. Найдите сумму объемов всех дисков для получения общего объема тела вращения вокруг оси ОХ.

Давайте проиллюстрируем данный процесс на примере. Пусть у нас есть фигура, ограниченная графиками функций y = x^2 и y = 2x на интервале [0, 2].

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций: x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0

Таким образом, точки пересечения: x₁ = 0 и x₂ = 2.

Шаг 2: Разобьем фигуру на кусочки: Кусочек 1: [0, 2]

Шаг 3: Представим кусочек в виде диска: Для каждой координаты x на интервале [0, 2], найдем расстояние от графика функции до оси ОХ, это будет радиус диска r(x) = |f(x) - 0| = |x^2 - 0| = x^2.

Шаг 4: Найдем объем каждого диска: Объем диска V(x) = π * r^2 * h(x) = π * (x^2)^2 * dx (мы используем dx, так как мы интегрируем по оси ОХ).

Шаг 5: Вычислим общий объем тела вращения: Общий объем V_общий = ∫[0, 2] V(x) dx = ∫[0, 2] π * x^4 dx

Теперь произведем интегрирование: V_общий = π * ∫[0, 2] x^4 dx V_общий = π * [x^5 / 5] |[0, 2] V_общий = π * (2^5 / 5) - π * (0^5 / 5) V_общий = π * (32 / 5)

Таким образом, объем тела вращения вокруг оси ОХ для фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 2x на интервале [0, 2], равен (32π / 5) или приближенно 20.106 кубических единиц.