Question

Допоможіть знайти площу y=tgx y=0 x=0 x=П/3

Answer 1

$S=\int\limits_0^\frac{\pi}{3} {tgx} \, dx = \int\limits_0^\frac{\pi}{3} \frac{sinx}{cosx}\, dx =-\int\limits_0^\frac{\pi}{3} {\frac{d(cosx)}{cosx}}=ln(cosx)|_\frac{\pi}{3} ^0=ln1-ln\frac{1}{2} = ln2$

Answer 2

Щоб знайти площу обмеженого функціями y = tg(x), y = 0, x = 0 та x = π/3 області на площині, спочатку ми повинні побудувати графік функції y = tg(x) та прямих x = 0 і x = π/3. Потім ми обчислимо площу області, яка знаходиться між графіком функції та прямими.

1. Побудова графіку: Для побудови графіку функції y = tg(x), можемо використати таблицю значень або відомі значення тангенса для кутів.

Кутові значення тангенса: tg(0) = 0 tg(π/6) = √3 / 3 tg(π/4) = 1 tg(π/3) = √3

За допомогою цих значень, ми можемо наблизити графік:

Точки: (0, 0), (π/6, √3 / 3), (π/4, 1), (π/3, √3)

2. Обчислення площі: Для обчислення площі області, між графіком та прямими, ми можемо розділити її на три частини: дві трикутники та один прямокутник.

Трикутник 1: (0, 0), (0, √3 / 3), (π/6, √3 / 3) Площа трикутника 1 = (1/2) * основа * висота = (1/2) * (π/6 - 0) * (√3 / 3 - 0)

Трикутник 2: (π/6, √3 / 3), (π/3, √3) Площа трикутника 2 = (1/2) * основа * висота = (1/2) * (π/3 - π/6) * (√3 - √3 / 3)

Прямокутник: (0, 0), (π/3, 0), (π/3, √3 / 3), (0, √3 / 3) Площа прямокутника = довжина * ширина = (π/3 - 0) * (√3 / 3 - 0)

Загальна площа = Площа трикутника 1 + Площа трикутника 2 + Площа прямокутника

Підставляємо відповідні значення і обчислюємо:

Площа трикутника 1 = (1/2) * (π/6) * (√3 / 3) = π/12 * √3 Площа трикутника 2 = (1/2) * (π/6) * (2√3 / 3) = π/12 * √3 Площа прямокутника = (π/3) * (√3 / 3) = π/9 * √3

Загальна площа = π/12 * √3 + π/12 * √3 + π/9 * √3 = (2π/12 + π/9) * √3 Загальна площа = (3π + 4π) / 36 * √3 = 7π / 36 * √3

Таким чином, площа області між графіком функції y = tg(x), y = 0, x = 0 та x = π/3 дорівнює (7π / 36) * √3.