Question

На гипотенузе Ab прямоугольного треугольника Abc выбраны точки P и Q так, что AP=Ac и BQ=BC. Найдите угол PCQ. Ответ дайте в градусах

Answer 1

Ответ:

45°

Пошаговое объяснение:

Дано: ΔАВС; ∠АСВ = 90°

АР = АС; ВQ = ВС

Найти: ∠РСQ    

Решение.

     Рассмотрим Δ АВС. Отрезки СР и CQ делят прямой угол на 3 угла. Для удобства назовем ∠1 искомый ∠PCQ ,  ∠АСQ,  прилежащий к стороне АС, ∠2 и ∠ВСР, прилежащий у стороне ВС ∠3.

    ∠АСВ = ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° (это уравнение пригодится далее)

    Рассмотрим ΔАРС, боковые стороны АР=АС  по условию, ⇒  равны углы при основании этого равнобедренного треугольника:

∠АРС = ∠АСР  = ∠1 + ∠2.

    Рассмотрим ΔВQС, он также равнобедренный по условию (BQ = ВС), ⇒ можно записать равенство углов при его основании:

∠ВQC = ∠BCQ = ∠1 + ∠3

    Рассмотрим ΔРQС. Сумма его углов, как и любого треугольника, 180 ° :

∠АРС + ∠ВQC + ∠РСQ = (∠1 + ∠2) + (∠1 + ∠3) + ∠1 = 3 *∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

    Имеем систему уравнений, которую можно решить способом вычитания.

{    3 *∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

{    ∠1 + ∠2 + ∠3   =   90°      

    2 * ∠1        =          90°

∠1 = 45°

Ответ: 45°

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим угол BAC (угол между гипотенузой и катетом) как α. Также, обозначим угол APQ как β, а угол CQB как γ.

Из условия задачи, AP=Ac и BQ=BC, следует, что треугольники APC и ABC равнобедренные, так как у них равны две стороны и угол между ними.

Также, в прямоугольных треугольниках ACP и BCQ, мы знаем, что:

1. Угол PAC (угол между гипотенузой и стороной AC) также равен α, так как треугольники APC и ABC равнобедренные.
2. Угол QBC (угол между гипотенузой и стороной BC) также равен α, так как треугольники BCQ и ABC равнобедренные.

Теперь мы можем найти угол PCQ. Обратите внимание, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

Угол PCQ = угол PAC + угол QBC = α + α = 2α

Но у нас нет конкретного значения угла α, чтобы найти точное значение угла PCQ в градусах. Если у нас было бы значение для угла α, мы бы могли умножить его на 2, чтобы найти угол PCQ в градусах.