Question

Помогите найти предел. Желательно подробно. Не используя правило Лопиталя lim(cos(pi*x/2)/(1-x)) при x стремящимся к 1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Выполним замену

у=1-х

Тогда у будет стремиться к 0.

х=1-у

Перепишем задание с использованием у

$\lim_{y \to 0} \frac{\cos\frac{\pi}{2}(1-y)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin\frac{\pi}{2}y }{y} =\frac{\pi}{2} .$

Answer 2

Для нахождения предела данной функции без использования правила Лопиталя, мы можем применить простые алгебраические преобразования и известные пределы.

Дано: lim(cos(pi*x/2) / (1 - x)) при x стремящемся к 1.

Чтобы избавиться от неопределенности вида 0/0, которая возникает, когда x приближается к 1, давайте воспользуемся тригонометрической тождеством:

cos(πx/2) = sin(π/2 - πx/2) = sin(π/2 - xπ/2).

Теперь предел функции примет вид:

lim(sin(π/2 - xπ/2) / (1 - x)) при x стремящемся к 1.

Теперь применим замену переменной y = 1 - x при x стремящемся к 1. При x стремящемся к 1, y будет стремиться к 0.

Таким образом, предел примет вид:

lim(sin(π/2 - yπ/2) / y) при y стремящемся к 0.

Далее, воспользуемся замечательным пределом sin(y)/y при y стремящемся к 0, который равен 1:

lim(sin(π/2 - yπ/2) / y) при y стремящемся к 0 = lim(sin(π/2 - yπ/2)) при y стремящемся к 0.

Теперь, когда y стремится к 0, аргумент sin(π/2 - yπ/2) также стремится к 0, и sin(x) непрерывна в точке 0, поэтому:

lim(sin(π/2 - yπ/2)) при y стремящемся к 0 = sin(π/2 - 0) = sin(π/2) = 1.

Таким образом, исходный предел равен 1:

lim(cos(pi*x/2) / (1 - x)) при x стремящемся к 1 = 1.