Question

Решить уравнение в целых числах: 2xy-2x-y=6

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2xy - 2x - y = 6

2x(y - 1) = y + 6

Проверим, что y = 1 не является корнем уравнения. Подставим его в предыдущее тождество и получим 0 ≠ 7, т.е действительно y = 1 не является корнем уравнения. Поделим обе части тождества на (y - 1)

$2x=\frac{y+6}{y-1}=\frac{y-1+7}{y-1}=1+\frac{7}{y-1}$

Т.к. в левой части уравнения целое число, то и в правой должно быть целое. Дробь $\frac{7}{y-1}$ может быть целой только если (y - 1) является делителем числа 7

|y - 1| = 1

|y - 1| = 7

y = 0 x = -3

y = 2 x = 4

y = -6 x = 0

y = 8 x = 1

Answer 2

Для решения данного уравнения в целых числах, мы будем искать такие значения x и y, при которых уравнение выполняется.

Уравнение: 2xy - 2x - y = 6

Для начала, попробуем выразить одну из переменных через другую. Для этого перенесем все члены, содержащие переменные, на одну сторону уравнения:

2xy - y = 2x + 6

Теперь выразим y:

y(2x - 1) = 2x + 6

y = (2x + 6) / (2x - 1)

Теперь мы должны найти такие целочисленные значения x, при которых выражение для y также будет целым числом.

Заметим, что если (2x - 1) делит 2x + 6 нацело, то их разность, то есть (2x + 6) - (2x - 1) = 7, тоже должна делиться нацело на (2x - 1).

Таким образом, (2x - 1) должно быть делителем числа 7. Рассмотрим все возможные значения (2x - 1):

1. 2x - 1 = 1 2x = 2 x = 1, а соответствующее значение y будет: y = (21 + 6) / (21 - 1) = 8 / 1 = 8

2. 2x - 1 = 7 2x = 8 x = 4, а соответствующее значение y будет: y = (24 + 6) / (24 - 1) = 14 / 7 = 2

Таким образом, уравнение имеет два решения в целых числах: x = 1, y = 8 и x = 4, y = 2.