Question

Lim x стремится к минус бесконечности ((( x+3)/(2x-4))^(x+3))

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x+3}{2x-4}\right)^{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1+\frac3x}{2-\frac4x}\right)^{x+3}=\left[\left(\dfrac{1-0}{2+0}\right)^{-\infty}\right]=+\infty$

Answer 2

Давайте рассмотрим предел данной функции при x стремящемся к минус бесконечности.

Выражение вида (a^b)^(c) может быть переписано как a^(b*c), используя свойства степеней. Воспользуемся этим для упрощения функции:

lim(x -> -∞) ((x+3)/(2x-4))^(x+3)

Применим свойство степени: a^b = e^(b * ln(a)), где e - основание натурального логарифма.

lim(x -> -∞) e^((x+3) * ln((x+3)/(2x-4)))

Теперь возьмем предел от ln((x+3)/(2x-4)) при x стремящемся к минус бесконечности:

lim(x -> -∞) ln((x+3)/(2x-4))

В числителе и знаменателе степеней x, поэтому можно применить правило Лопиталя (правило де-Лопиталя) для нахождения предела:

lim(x -> -∞) [d/dx (x+3)] / [d/dx (2x-4)]

Вычислим производные:

lim(x -> -∞) [1] / [2]

Теперь получили предел ln((x+3)/(2x-4)) при x стремящемся к минус бесконечности:

lim(x -> -∞) ln((x+3)/(2x-4)) = 1/2

Теперь вернемся к исходной функции:

lim(x -> -∞) e^((x+3) * ln((x+3)/(2x-4))) = e^(1/2)

Ответ:

lim(x -> -∞) ((x+3)/(2x-4))^(x+3) = e^(1/2) или примерно 1.64872.