Question

Координаты вершин треуг. А (6:-7) В(-2:-1) С(3:11). Составить Уравнение описанной окружности с решением

Answer 1

ДУМАЕМ (ответ Замятина)

Мысль 1. Центр окружности на пересечении перпендикуляров из середин сторон.

Мысль 2 - Середина стороны по формуле D= (A+B)/2

Мысль 3. Коэффициент перпендикуляра:  k1 = - 1/k

Мысль 4. Радиус окружности - расстояние от вершины до центра окружности.

Мысль 5. Уравнение окружности со смещенным центром:

(x + a)² + (y + b)² = R²

Пора переходить и к ....

РЕШЕНИЕ.

Рисунок к задаче в приложении. Строим треугольник по заданным координатам.

1) Находим середины сторон треугольника.

Dx = (Ax + Bx)/2 = 2, Dy = (Ay+By)/2 = -4  и D(2;-4)

F(4.5;2)

2) Находим уравнения сторон АВ и АС.

k = ΔY/ΔX = (Аy-By)/(Аx-Bx)=(-7--1)/(6--2)=-0,75 - наклон прямой      b=Аy-k*Аx=-7-(-0,75)*6=-2,5- сдвиг по оси ОУ      

Уравнение АВ:   Y=-0,75*x+-2,5      

k = ΔY/ΔX = (Аy-Сy)/(Аx-Сx)=(-7-11)/(6-3)=-6 - наклон прямой    

b=Аy-k*Аx=-7-(-6)*6=29- сдвиг по оси ОУ      

Уравнение АС:  Y=-6*x+29      

3) Находим уравнения перпендикуляров к прямым АВ и АС.

Уравнение перпендикуляра DH.

k(DH) = - 1/k(AB) = -1/(-0.75) =  4/3 - наклон.

b = Dy - k*Dx - -4 - 4/3*2 = - 6 2/3 - сдвиг

Уравнение DH: Y= 4/3*x - 20/3 или в параметрической форме записи

4*x - 3*y = 20 - уравнение DH - (запомнили - уравнение 1)

Уравнение  перпендикуляра FG.

k = 1/6

b = Fy-k*Fx = 2 - 1/6*4.5 = 1.25.

Уравнение FG:  Y= x/6 + 5/4 или в параметрической форме:

Y = (2*x+ 15)/12  ->  2*x - 12*y = - 15 -(уравнение 2)

4) Находим точку пересечения перпендикуляров - W (вау) - центр окружности. Решение систему из двух уравнений прямых DH FG.

1) 4*x - 3*y = 20

2) 2*x - 12*y = -15

Получилось решение: Х = 6 11/14 (≈6.8) и У = 2 8/21 (≈2.4)( такое решение).

5) Находим радиус окружности - расстояние между точками А и W по теореме Пифагора.

R²= (Wy-Ay)²+ (Wx-Ax)² = (2 8/21 - (-7))² + (11/14)² ≈ 88.6

6) Уравнение окружности

(х - 6,8)² + (y + 2.4)² = 88.6  - ОТВЕТ

Задача решена, хотя .................. это ответ Замятина - возможны и опечатки, но, главное, АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ..

Answer 2

Для составления уравнения описанной окружности, нам понадобятся координаты вершин треугольника. У вас уже указаны координаты вершин A(6, -7), B(-2, -1) и C(3, 11).

Уравнение описанной окружности имеет вид:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,

где (h, k) - это координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

1. Найдем координаты центра окружности (h, k). Центр окружности описанной вокруг треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Сначала найдем координаты середины отрезков AB, BC и AC:

Мидпоинт AB: ( (6 + (-2)) / 2, (-7 + (-1)) / 2 ) = (2, -4) Мидпоинт BC: ( (3 + (-2)) / 2, (11 + (-1)) / 2 ) = (0.5, 5) Мидпоинт AC: ( (6 + 3) / 2, (-7 + 11) / 2 ) = (4.5, 2)

Теперь найдем уравнения прямых, проходящих через середины сторон треугольника и перпендикулярных этим сторонам.

Уравнение прямой, проходящей через середину AB и перпендикулярной AB:

Перпендикулярный AB имеет направляющий вектор (1, -1) (перпендикулярный к вектору AB(-2-6, -1-(-7)) = (-8, 6)). Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид: y - (-4) = (-1/1)(x - 2) => y + 4 = -x + 2 => y = -x - 2.

Уравнение прямой, проходящей через середину BC и перпендикулярной BC:

Перпендикулярный BC имеет направляющий вектор (11-(-1), -2-3) = (12, -5). Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид: y - 5 = (-5/12)(x - 0.5) => y - 5 = (-5/12)x + 5/2 => y = (-5/12)x + 15/2.

Уравнение прямой, проходящей через середину AC и перпендикулярной AC:

Перпендикулярный AC имеет направляющий вектор (11-(-7), 3-6) = (18, -3). Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид: y - 2 = (-1/6)(x - 4.5) => y - 2 = (-1/6)x + 3/4 => y = (-1/6)x + 17/4.

Теперь найдем точку пересечения этих прямых, которая будет являться центром окружности. Решим систему уравнений:

1. y = -x - 2
2. y = (-5/12)x + 15/2
3. y = (-1/6)x + 17/4

Решая эту систему, получим (x, y) = (3, -5).

2. Найдем радиус окружности (r). Радиус равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника. Давайте возьмем вершину A(6, -7) для удобства.

r^2 = (x_A - x)^2 + (y_A - y)^2, r^2 = (6 - 3)^2 + (-7 - (-5))^2, r^2 = 3^2 + (-2)^2, r^2 = 9 + 4, r^2 = 13.

Таким образом, r^2 = 13.

Уравнение окружности теперь будет:

(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 13.