Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=5x + 4; y = x^2 - 5x + 4. З малюнком. (Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями ....)

Answer 1

Рішення: знайдемо площу фігури, обмежену лініями y=x2+5x+2;−2x+y−6=0


Будуємо криві:


1.  y=x2+5x+2 - парабола. 
Проведемо перетворення рівняння, виділимо повний квадрат

x2+5x+2= x2+2∗52x+254−254+2=

=(x+52)2 −254+2=> y=(x+52)2−174

Отримали рівняння параболи з центром в точці (−52;−174), осі якої спрямовані вгору. 
2.  −2x+y−6=0=>y=2x+6 - рівняння прямої.

Будуємо малюнок:


Потрібно знайти площу криволінійної фігури ABC

Answer 2

На жаль, я, як текстовий модель, не можу створити малюнок, але я можу допомогти вам обчислити площу фігури обмеженої заданими лініями.

Спочатку знайдемо точки перетину двох функцій y = 5x + 4 і y = x^2 - 5x + 4. Для цього прирівняємо їх та знайдемо значення x:

5x + 4 = x^2 - 5x + 4

Тепер перенесемо всі члени рівняння в одну сторону:

x^2 - 5x - 5x = 0

x^2 - 10x = 0

Тепер факторизуємо:

x(x - 10) = 0

З цього рівняння маємо два значення x: x = 0 та x = 10.

Тепер, щоб знайти відповідні значення y, підставимо ці значення x у відповідні рівняння:

Для x = 0:

y = 5 * 0 + 4 = 4

Для x = 10:

y = 5 * 10 + 4 = 54

Таким чином, отримуємо дві точки перетину: (0, 4) та (10, 54).

Тепер, щоб обчислити площу фігури між цими двома кривими, ми можемо розділити її на дві частини: прямокутник і площу під параболою.

Площа прямокутника = довжина * ширина = (10 - 0) * (5 * 10 + 4 - 4) = 10 * 54 = 540

Площа під параболою може бути обчислена інтегруванням функції x^2 - 5x + 4 від x = 0 до x = 10:

Площа під параболою = ∫(x^2 - 5x + 4)dx від 0 до 10

Площа під параболою = [x^3/3 - (5x^2)/2 + 4x] від 0 до 10

Площа під параболою = [(10^3)/3 - (5 * 10^2)/2 + 4 * 10] - [(0^3)/3 - (5 * 0^2)/2 + 4 * 0]

Площа під параболою = [1000/3 - 250 + 40] - [0 - 0 + 0]

Площа під параболою = 690/3 = 230

Тепер, щоб знайти загальну площу фігури, просто додайте площу прямокутника і площу під параболою:

Загальна площа = 540 + 230 = 770

Отже, площа фігури обмеженої лініями y = 5x + 4 та y = x^2 - 5x + 4 дорівнює 770 квадратним одиницям.