Question

Исследовать функцию и построить её график f(x) = x^2-1/4x^4

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ДАНО: Y(x) = -x⁴+ 8*x² - график функции в приложении.

1. Непрерывная. Разрывов нет.

2. Нули функции: х1 = - 2, x2 = x3 = 0 и х4 = 2.

3. Первая производная.

Y'(x) = -4*x³ + 16*x = -4*x*(x² -2)·= 0  

4. Точки экстремумов: x 5 = - √2·, x6 = 0, x7 = √2

5 Ymin(-√2) = Y(√2) = 1,  Ymax(0) = 0

6 Вторая производная

Y"(x) = -12*x² + 16 = - 12*(x² - 4/3)

x = +/- √(4/3) ≈ +/- 0.82

x8 = - 0.82, x9 = 0.82 - точки перегиба.

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^2 - 1/4x^4 давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.
2. Найдем производные функции и точки экстремума.
3. Изучим поведение функции на интервалах.
4. Найдем точки пересечения с осями координат.
5. Нарисуем график функции.

Шаг 1: Область определения функции Функция определена для всех действительных чисел x, так как нет никаких ограничений для переменной x.

Шаг 2: Производные функции и точки экстремума Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю для поиска точек экстремума:

f(x) = x^2 - 1/4x^4

f'(x) = 2x - 4*(1/4)x^3 f'(x) = 2x - x^3

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x - x^3 = 0

x(2 - x^2) = 0

Таким образом, имеем две критические точки: x1 = 0 и x2 = √2 (положительный корень из 2).

Шаг 3: Изучим поведение функции на интервалах Для анализа знаков функции на интервалах воспользуемся таблицей знаков производной:

markdownCopy code
    x < 0      0 < x < √2      x > √2

f'(x) - + -

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0), возрастает на интервале (0, √2) и снова убывает на интервале (√2, +∞).

Шаг 4: Точки пересечения с осями координат Чтобы найти точки пересечения с осями координат, решим уравнение f(x) = 0:

x^2 - 1/4x^4 = 0

x^2(1 - 1/4x^2) = 0

x = 0 и x = ±2 (положительный и отрицательный корни из 2).

Шаг 5: Построим график функции Теперь у нас достаточно информации, чтобы построить график функции:

График функции f(x) = x^2 - 1/4x^4 будет иметь следующий вид:

(Приношу извинения, но как языковая модель, я не могу нарисовать графики непосредственно в этом окне чата. Рекомендую использовать онлайн-инструменты для построения графиков, такие как Desmos или Wolfram Alpha. Введите уравнение их их встроенных калькуляторов, и вы сможете увидеть график функции.)