Question

Обяислити площу фігури обмежену лініями y=2x^2; y=8

Answer 1

Ответ: S = 21 1/3 (≈ 21.33)

Дано: y = 2x²,  y = 8.

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) 8 = 2*x²,  

a = 2, b = -2 - пределы интегрирования.

Площадь - интеграл разности функций.

2) Интегрируем.

$\int\limits^2_b {(8 - 2*x^2)} \, dx=\frac{8x}{1}-\frac{2x^3}{3}$

3) Вычисляем.

S(2) = 16 - 5 1/3 = 10 2/3 - при a = 2 - верхний предел

S(-2) = -16 +5 1/3 = - 10 2/3 при b = -2 - нижний предел

S = S(2) - S(-2) = 10 2/3 - (-10 2/3) = 21 1/3 - площадь - ответ.

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими лініями, ми повинні обчислити інтеграл від різниці функцій відповідно до меж цих кривих. У даному випадку, ми маємо дві функції: y = 2x^2 та y = 8.

1. Знайдемо точки перетину цих функцій: Поставимо їх у рівність: 2x^2 = 8 Розділимо обидві сторони на 2: x^2 = 4 Витягнемо квадратний корінь: x = ±2

Таким чином, точки перетину будуть (2, 8) та (-2, 8).

2. Знайдемо інтеграл від різниці функцій від однієї межі до іншої, щоб отримати площу між кривими:

Площа = ∫[a, b] (y_2 - y_1) dx де y_2 - це функція y = 8 (верхня межа) а y_1 - це функція y = 2x^2 (нижня межа) a = -2 (нижня межа перетину) b = 2 (верхня межа перетину)

Площа = ∫[-2, 2] (8 - 2x^2) dx

3. Обчислимо інтеграл:

∫ (8 - 2x^2) dx = [8x - (2/3)x^3] + C

де C - це константа інтегрування.

4. Застосуємо межі і знайдемо площу:

Площа = [(8 * 2) - (2/3 * 2^3)] - [(8 * -2) - (2/3 * (-2)^3)] Площа = (16 - (16/3)) - (-16 + (16/3)) Площа = (48/3 - 16/3) + (16 + 16/3) Площа = 32/3 + 48/3 Площа = 80/3 або приблизно 26.67 квадратних одиниць.

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = 2x^2 та y = 8, дорівнює приблизно 26.67 квадратних одиниць.