Question

Исследовать на экстремум следующие функции y=x³-3x

Answer 1

стник Знаний

y = x³ + 3x² - 8

найдём производную

y' = 3x² + 6x

Приравняем производную нулю

3x² + 6x = 0

3х(х + 2) = 0

х₁ = 0

х₂ = -2

Исследуем знаки производной y' = 3x² + 6x.

Поскольку график производной - квадратичная парабола веточками вверх, то знаки её будут такими:

при х∈(-∞; -2] y' > 0 и функция у возрастает

при х∈[-2; 0]  y' < 0 и функция у убывает

при х∈(0; +∞] y' > 0 и функция у возрастает

В точке х₁ = 0 производная y' меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.

уmin = y(0) = 0³ + 3·0² - 8 = -8

В точке х₂ = -2 производная y' меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.

уmах = y(-2) = (-2)³ + 3·(-2)² - 8 = -8 + 12 - 8 = - 4

Answer 2

Для исследования функции y = x³ - 3x на экстремумы, мы должны найти её критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. В экстремальных точках значение функции может быть максимальным или минимальным.

Шаги для исследования на экстремум:

1. Найдите производную функции y по x.
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.
3. Проверьте значение второй производной f''(x) в каждой критической точке.
4. Анализируйте результаты для определения типа экстремума (минимум, максимум или разрыв).

Пошагово решим:

1. Найдем производную функции y по x: y = x³ - 3x y' = 3x² - 3

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: 3x² - 3 = 0 3x² = 3 x² = 1 x = ±1

Таким образом, у нас две критические точки: x = 1 и x = -1.

3. Найдем значение второй производной функции: y'' = d/dx(3x² - 3) = 6x

4. Определим тип экстремума в каждой критической точке: а) При x = 1: y''(1) = 6 * 1 = 6 (положительное значение) Это значит, что функция имеет минимум в точке x = 1.

б) При x = -1: y''(-1) = 6 * (-1) = -6 (отрицательное значение) Это значит, что функция имеет максимум в точке x = -1.

Таким образом, функция y = x³ - 3x имеет локальный минимум при x = 1 и локальный максимум при x = -1.