Question

определите высоту правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла при боковом ребре равен (-0,625)

Answer 1

Дана правильная шестиугольная пирамида, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла φ при боковом ребре равен (-0,625) или (-5/8).  

Угол φ равен arc cos(-0,625) = 2,24592786  радиан или

128,6821875  градуса.

Тангенс половины этого угла равен:

tg(φ/2) = √((1 - cos φ)/(1 + cosφ)) = √(1 - (-5/8))/(1 + (-5/8)) = √(13/3).

Проведём короткую диагональ основания. Она равна а√3.

Середина её находится на середине половины длинной диагонали основания. Половина длинной диагонали основания - это радиус описанной окружности вокруг основания и равна стороне основания.

Из этой точки проведём перпендикуляр h к боковому ребру L.

h = ((a√3)/2)/tg(φ/2) = ((a√3/2)/(√13/√3) = 3a/2√13.

Синус угла наклона бокового ребра к основанию равен:

sin α = h/(a/2) = (2*3a)/(2√13*a) = 3/√13.

Отсюда находим тангенс угла α:

tg α = sin α/√(1 - sin²α) = 3/2 = 1,5.

Отсюда высота пирамиды равна H = a*tg α = 1,5a.

Answer 2

Для определения высоты правильной шестиугольной пирамиды можно воспользоваться теоремой косинусов. Пусть "a" - длина стороны основания пирамиды, а "h" - высота пирамиды.

Теорема косинусов гласит: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Где:

• $a$ - длина стороны противолежащей углу $A$,
• $b$ и $c$ - длины двух других сторон треугольника.

В нашем случае у нас есть двугранный угол, обозначим его $B$, а косинус этого угла равен $-0,625$. Двугранный угол образуется между боковым ребром пирамиды и одной из сторон основания. Так как пирамида правильная, то угол при основании также будет равен $120^\circ$. Тогда угол $B = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Таким образом, в теореме косинусов у нас будет: $b = a \quad \text{(сторона основания)}$ $c = h \quad \text{(высота пирамиды)}$ $A = 60^\circ \quad \text{(угол при основании)}$ $\cos A = -0,625$

Теперь можем решить уравнение относительно $h$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ $a^2 = a^2 + h^2 - 2ah \cdot (-0,625)$ $0 = h^2 + 1,25ah - a^2$

Решим это уравнение с помощью квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант: $D = (1,25ah)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^2)$ $D = 1,5625a^2h^2 + 4a^2$

Теперь найдем $h$: $h = \frac{-1,25ah \pm \sqrt{D}}{2}$

Учитывая, что высота не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $h = \frac{-1,25ah + \sqrt{D}}{2}$

Теперь подставим значение косинуса угла $-0,625$: $h = \frac{-1,25a \cdot a + \sqrt{1,5625a^2a^2 + 4a^2}}{2}$ $h = \frac{-1,25a^2 + \sqrt{1,5625a^4 + 4a^2}}{2}$

Таким образом, высота правильной шестиугольной пирамиды равна: $h = \frac{-1,25a^2 + \sqrt{1,5625a^4 + 4a^2}}{2}$