Question

Докажите, что для любого множества А верны равенства: А∪∅=∅, А∪∅=A, AꓵA=A, A∪A=A

Answer 1

1) У вас, очевидно, опечатка - должно быть пересечение.

$A \cap \varnothing = \{ x \colon (x \in A) \wedge 0 \} = \{ x \colon 0 \} = \varnothing$

2) $A \cup \varnothing = \{ x \colon (x \in A) \vee 0 \} = \{ x \colon (x \in A) \} = A$

3) $A\cap A = \{ x \colon (x \in A) \wedge (x \in A) \} = \{ x \colon (x \in A)\} = A$

4) $A \cup A = \{ x \colon (x \in A) \vee (x \in A) \} = \{ x \colon (x \in A) \} = A$

Answer 2

Для доказательства этих равенств, давайте воспользуемся определениями объединения и пересечения множеств:

Пусть А - произвольное множество.

1. А объединено с пустым множеством (∅): А ∪ ∅ = {x : x ∈ А или x ∈ ∅} = {x : x ∈ A или ложь} = {x : x ∈ A} = А.

Таким образом, А объединено с пустым множеством равно самому А.

2. А пересечено с пустым множеством (∅): А ∩ ∅ = {x : x ∈ А и x ∈ ∅} = {x : ложь} = ∅.

Таким образом, пересечение множества А с пустым множеством равно пустому множеству (∅).

3. А объединено с самим собой (А ∪ А): А ∪ А = {x : x ∈ А или x ∈ А} = {x : x ∈ А} = А.

Таким образом, объединение множества А с самим собой равно самому А.

4. А пересечено с самим собой (А ∩ А): А ∩ А = {x : x ∈ А и x ∈ А} = {x : x ∈ А} = А.

Таким образом, пересечение множества А с самим собой также равно самому А.

Таким образом, все равенства доказаны:

1. А ∪ ∅ = А
2. А ∩ ∅ = ∅
3. А ∪ А = А
4. А ∩ А = А