Question

100 БАЛЛОВ!!!! ЗАДАЧА ГЕОМЕТРИЯ На ребрах DA, DB и DС тетраэдра DABC отмечены точки K, L и M так, что DK:KA=DL:LB=DM:MC. Доказать, что плоскости KLM и ABC параллельны. Найти площадь АВС, если площадь KLM = 15см^2 и DK:KA=3:2.

Answer 1

Ответ:

41 целая 2/3 (см²)

Пошаговое объяснение:

так как DK:KA=DL:LB и угол KDL общий у треугольников ADB и KDL, то они подобны, значит угол LKD равен углу BAD, а значит KL || AC

Аналогично, так как DL:LB=DM:MC и угол MDL общий у треугольников CDB и MDL, то они подобны, значит угол LMD равен углу BCD, а значит ML || BC

т.к. две скрещивающиеся прямы плоскости ABC соответственно параллельны двум скрещивающимся прямым плоскости KLM, то плоскости параллельны.

т.к. треугольники ADB и KDL подобны, то AB:KL = (3x+2x): 3x = 5:3

аналогично CB : ML = 5 : 3

и AC : KM = 5 : 3

треугольники KLM и ABC - подобны, значит. их площади относятся как k² = (5/3)² = 25/9

S(ABC) = 15 * 25/9 = 125/3 = 41 целая 2/3 (см²)

Answer 2

Для доказательства того, что плоскости KLM и ABC параллельны, мы можем воспользоваться условием, данном в задаче: "DK:KA = DL:LB = DM:MC". Это условие говорит нам о том, что отношения расстояний от точек K, L и M до вершин D, A, B и C тетраэдра DABC одинаковы.

По определению, плоскость KLM содержит все три точки K, L и M. Точно так же плоскость ABC содержит вершины A, B и C. Если отношения расстояний между этими точками одинаковы, это означает, что плоскости KLM и ABC параллельны.

Теперь давайте найдем площадь треугольника ABC. Мы знаем, что площадь треугольника KLM равна 15 см^2. Также нам известно, что DK:KA = 3:2.

Пусть S1 - площадь треугольника KAD, и S2 - площадь треугольника KAB. Тогда мы можем записать отношения площадей:

S1 : S2 = DK : KA = 3 : 2

Теперь рассмотрим треугольник KAB. Мы знаем, что площадь треугольника KAB связана с площадью треугольника ABC следующим образом:

S2 : S(ABC) = KA : BA

Поскольку мы знаем отношение S1 : S2 = 3 : 2, и S2 : S(ABC) = KA : BA, мы можем объединить эти два отношения:

S1 : S(ABC) = 3 : 2

Теперь, зная, что площадь треугольника KAD равна S1 и равна 15 см^2, мы можем найти площадь треугольника ABC:

S(ABC) = S1 * (S(ABC) / S1) = 15 * (2 / 3) = 10 см^2

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 10 см^2.