Question

Найти все а, при каждом из которых множество решений неравенства. {а-(а^2-2а)cos2x+2}/{3-cosrx+a^2} содержит промежуток [-2п;-7п/6]

Answer 1

Так как sin2x+a2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin2x+a2+1.

Неравенство примет вид:

a–(a2–2a–3)cosx+4 < sin2x+a2+1.

sin2x=1–cos2x;

cos2x–(a2–2a–3)cosx+2+a–a2 < 0

На [–π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].

Обозначим сosx=t.

Переформулируем задачу.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 < 0 при всех t∈[0;1]

Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].

Это условие принимает вид

{f(0) < 0

{f(1) < 0

Тогда для всех точек t∈[0;1]

будет выполняться неравенство: f(t) < 0

[a2+a+2 < 0;

{–2a2+3a+6 < 0

или

{a2–a–2 > 0; D=1+8=9 корни –1 и 2

{2a2–3a–6 > 0 D=9–4•2•(–6)=9+48=57

корни (3–√57)/4 и (3+√57)/4

__(3–√57)/4__–1____2____(3–√57)/4

О т в е т. (–∞; (3–√57)/4)U((3+√57)/4;+∞)

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра "а", при которых множество решений данного неравенства содержит промежуток [-2π; -7π/6], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений "а", при которых знаменатель не обращается в ноль, так как деление на ноль недопустимо.

2. Найти область допустимых значений "а", при которых числитель и знаменатель имеют одинаковый знак внутри интервала [-2π; -7π/6].

3. Проверить, что в точках из найденной области допустимых значений числитель и знаменатель не обращаются в ноль, так как иначе множество решений будет содержать дополнительные точки.

Давайте выполним эти шаги:

1. Область допустимых значений "а" (знаменатель не равен нулю): Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, должно выполняться условие: 3 - cos(rx) + a^2 ≠ 0. Решим это неравенство относительно "а":

a^2 ≠ cos(rx) - 3

2. Область допустимых значений "а" (знак числителя и знаменателя совпадает в интервале [-2π; -7π/6]): Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно и найдем их знаки:

Числитель: а - (а^2 - 2а)cos(2x) + 2 Знаменатель: 3 - cos(rx) + a^2

Мы хотим, чтобы оба выражения имели одинаковый знак внутри интервала [-2π; -7π/6]. Так как область значений косинуса лежит в промежутке [-1; 1], то нам нужно, чтобы выполнялось:

-1 ≤ cos(2x) ≤ 1 -1 ≤ cos(rx) ≤ 1

Таким образом, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковый знак, должно выполняться условие:

а - (а^2 - 2а) + 2 > 0 и 3 - cos(rx) + a^2 > 0 или а - (а^2 - 2а) + 2 < 0 и 3 - cos(rx) + a^2 < 0

3. Проверка точек на разрывы: Найденные значения "а" нужно проверить на точках, где числитель или знаменатель обращаются в ноль, так как это может привести к дополнительным точкам решения.

Итак, после выполнения всех этих шагов, мы найдем все значения "а", при каждом из которых множество решений неравенства содержит промежуток [-2π; -7π/6].