Question

Назовём натуральное число k олимпиадным, если у него есть два раз- личных натуральных делителя a и b на одинаковом расстоянии от числа k/3 (то есть |a−k/3| = |b−k/3|). Сколько существует олимпиадных чисел, не превосходящих 2018?

Answer 1

Расположим делители числа  k  в порядке возрастания (естественно, если такие делители существуют).

$\boldsymbol{1;~2;~3;~4;~5;...~\dfrac k5;~\dfrac k4;~\dfrac k3;~\dfrac k2;~k}$

Пусть a < b.

Так как различные натуральные делители a и b расположены на одинаковом расстоянии от числа k/3,  то расположены они по разные стороны от числа k/3

     $a$

На числовой оси правее числа k/3 ( то есть больше числа k/3) расположены только два делителя :  само число k  и  k/2.

b = k   не подходит по условию, так как делитель a тогда отрицательный

$a = \dfrac k3-\bigg(b-\dfrac k3\bigg)=\dfrac k3-b+\dfrac k3=\dfrac {2k}3-k=-\dfrac k3$

Остаётся единственный вариант  $\boldsymbol{b=\dfrac k2}$

$\bigg|b-\dfrac k3\bigg|=b-\dfrac k3=\dfrac k2-\dfrac k3=\dfrac k6\\\\\bigg|a-\dfrac k3\bigg|=\dfrac k3-a=\dfrac k6\\\\a=\dfrac k3-\dfrac k6;~~\Rightarrow~~\boldsymbol{a=\dfrac k6}$

Так как у делителей  $\boldsymbol{b=\dfrac k2;~a=\dfrac k6}$  общий знаменатель равен 6, то олимпиадными будут все числа, кратные 6. Тогда олимпиадных чисел, не превосходящих 2018:

2018 : 6 = 336,(3)   -    336 чисел

Проверка :

k=6;     b=3;   a=1;    |1-2|=|3-2| =1

k=12;   b=6;   a=2;   |2-4|=|6-4| =2

k=18;   b=9;   a=3;   |3-6|=|9-6| =3  ...

$k=2016;~~~\dfrac k3=672;~~~b=\dfrac k2=1008;~~~a=\dfrac k6=336\\\bigg|a-\dfrac k3\bigg|=\Big|336-672\Big|=336=\bigg|b-\dfrac k3\bigg|=\Big|1008-672\Big|=336$

Ответ : 336 чисел

Answer 2

Для нахождения количества олимпиадных чисел, не превосходящих 2018, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить максимальное значение, которое может принимать k. Это значение достигается, когда a и b находятся на максимальном расстоянии от k/3, и максимальное расстояние между a и b составляет k/3. Таким образом, k = 3 * (a + k/3) = 4k/3, откуда k = 2018 * 3 / 4 = 1513.5. Поскольку k является натуральным числом, максимальное значение k равно 1513.

2. Перебрать все значения k от 1 до 1513 и проверить, является ли k олимпиадным числом.

3. Для каждого k найти два различных натуральных делителя a и b, которые находятся на одинаковом расстоянии от k/3 (|a−k/3| = |b−k/3|).

Давайте выполнять перебор:

• Для k = 1: k/3 = 1/3. Нет натуральных делителей на расстоянии 1/3 от 1.
• Для k = 2: k/3 = 2/3. Нет натуральных делителей на расстоянии 2/3 от 2.
• Для k = 3: k/3 = 1. Единственный натуральный делитель на расстоянии 1 от 1 - это 2.
• Для k = 4: k/3 = 4/3. Нет натуральных делителей на расстоянии 4/3 от 4.
• Для k = 5: k/3 = 5/3. Нет натуральных делителей на расстоянии 5/3 от 5.
• ...
• Для k = 1513: k/3 = 1513/3 = 504. Единственный натуральный делитель на расстоянии 504 от 1513 - это 1009.

Таким образом, существует два олимпиадных числа, не превосходящих 2018: 3 и 1513.