Question

Помогите пожалуйста написать уравнение плоскости, проходящей через точки P и Q и перпендикулярной к заданной плоскости: P(-1,2,1); Q(3 ,-4 , 2); 2x + 4y - 3z + 5=0.

Answer 1

Даны точки P(-1,2,1); Q(3 ,-4 , 2) и плоскость 2x + 4y - 3z + 5=0.

Находим координаты вектора m, проходящего через точки P и Q.

m = (3-(-1)=4; -4-2=-6; 2-1=1) = (4; -6; 1).

Второй вектор - это нормальный вектор заданной плоскости. Он будет лежать в искомой плоскости. Его координаты берём из уравнения:

n = (2; 4; -3).

Теперь берём точку P(-1,2,1) и 2 вектора, которые будут лежать в искомой плоскости: m = (4; -6; 1) и n = (2; 4; -3).

Плоскость, проходящая через точку М0(х0;у0;z0) и параллельная данным (непараллельным между собой) прямым K1 и K2 (или векторам a1 и а2), представляется уравнением:

  x-x0        y-y0        z-z0  

         nx           ny            nz

        mx           my           mz      = 0.  

Подставляем данные:

       x+1        y-2        z-1  

        2           4            -3

        4          -6            1        =   0.

Решив эту матрицу, получаем -14x - 14y - 14z + 42 = 0.

Сократив на -14, получаем уравнение искомой плоскости:

x + y + z - 3 = 0.

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки P(-1, 2, 1) и Q(3, -4, 2) и перпендикулярной к заданной плоскости 2x + 4y - 3z + 5 = 0, воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем вектор направления новой плоскости, который будет перпендикулярен заданной плоскости. Вектор направления плоскости равен коэффициентам при переменных x, y и z, то есть (2, 4, -3).

2. Найдем вектор, соединяющий точки P и Q: PQ = Q - P = (3 - (-1), -4 - 2, 2 - 1) = (4, -6, 1).

3. Вектор направления новой плоскости и вектор PQ должны быть перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение должно равняться нулю: (2, 4, -3) · (4, -6, 1) = 2 * 4 + 4 * (-6) + (-3) * 1 = 8 - 24 - 3 = -19.

4. Теперь у нас есть вектор направления новой плоскости (2, 4, -3) и точка, через которую она проходит (например, P(-1, 2, 1)), и мы можем записать уравнение плоскости в общем виде:

   А(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0,

   где (A, B, C) - вектор направления плоскости, (x₀, y₀, z₀) - координаты точки P.

5. Подставим значения в уравнение: 2(x - (-1)) + 4(y - 2) - 3(z - 1) = 0.

6. Упростим уравнение: 2(x + 1) + 4(y - 2) - 3(z - 1) = 0, 2x + 2 + 4y - 8 - 3z + 3 = 0, 2x + 4y - 3z - 3 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки P(-1, 2, 1) и Q(3, -4, 2) и перпендикулярной к заданной плоскости 2x + 4y - 3z + 5 = 0, будет 2x + 4y - 3z - 3 = 0.