Question

Log2(x-6)=0,5log2x Помогите решить

Answer 1

Ответ:

x=9

Пошаговое объяснение:

log₂(x-6)=0,5log₂(x),x⊂[6,+∞]

log₂(x-6)=log₂(x^0,5)

log₂(x-6)=log₂(x^1/2)

x-6=x^1/2

x-6=√x

√x=x-6

x=x²-12x+36

x-x²+12x-36=0

13x-x²-36=0

-x²+13x-36=0

x²-13x+36=0

x=13±√169-144/2

x=13±√25/2

x=13±5/2

x=13+5/2

x=13-5/2

x=9

x=4

log₂(9-6)=0,5 log₂(9)

log₂(4-6)=0,5 log₂(4)

1,58496=1,58496

log₂(-2)=0,5 log₂(4)

x=9

x≠4

Answer 2

Для решения уравнения, начнем с приведения его к более простому виду. Напомню, что $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$, где $c$ - произвольное положительное число.

Уравнение: $\log_{2}(x-6) = 0.5 \log_{2}x$.

Давайте применим указанное свойство логарифмов:

$\log_{2}(x-6) = \frac{\log_{2}x}{2}$.

Теперь избавимся от логарифма в правой части, умножив обе стороны уравнения на 2:

$2 \cdot \log_{2}(x-6) = \log_{2}x$.

Теперь воспользуемся определением логарифма: $b = \log_{a} c$ эквивалентно $a^{b} = c$. В нашем случае:

$2^{ \log_{2}(x-6)} = x$.

Теперь мы можем избавиться от логарифма и решить уравнение:

$2^{ \log_{2}(x-6)} = x$.

Из свойства логарифма $b = \log_{a} c$ следует, что $a^{b} = c$, поэтому:

$2^{ \log_{2}(x-6)} = x$ эквивалентно $x-6 = 2$.

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$x = 2 + 6$,

$x = 8$.

Таким образом, корень уравнения равен $x = 8$. Проверим это, подставив $x = 8$ обратно в исходное уравнение:

$\log_{2}(8-6) = 0.5 \log_{2}8$,

$\log_{2}(2) = 0.5 \cdot 3$,

$1 = 1$.

Уравнение верно при $x = 8$, следовательно, наше решение верно.