Question

Помогите Преобразовать ур-е кривой второго порядка к каноническому виду, построить её и найти параметры, определяющие данную линию.2x²+3y²-2x+6y=0

Answer 1

Ответ:

Это эллипс

$\frac{(x-0,5)^2}{1,75}+\frac{(y+1)^2}{1,1(6)}=1$

Пошаговое объяснение:

2x²-2x+3y²+6y=0

2(x²-x+0,25-0,25)+3(y²+2y+1-1)=0

2(x-0,5)²-0,5+3(y+1)²-3=0

2(x-0,5)²+3(y+1)²=3,5

$\frac{(x-0,5)^2}{\frac{3,5}{2} } +\frac{(y+1)^2}{\frac{3,5}{3} }=1$

$\frac{(x-0,5)^2}{1,75}+\frac{(y+1)^2}{1,1(6)}=1$

Это эллипс

Его большая полуось равна  $a=\sqrt{1,75}\approx 1,323,$

малая полуось равна  $b=\sqrt{1,1(6)}\approx 1,08$.

Центр эллипса в точке (0,5; -1) .

Эксцентриситет e равен

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\frac{3,5}{2}-\frac{3,5}{3} }=\sqrt{\frac{3,5}{6}}=\sqrt{0,58(3)}\approx0,763763$ - это расстояние от центра эллипса до фокуса.

$e=\frac{c}{a}\approx\frac{0,763763}{1,323} \approx0,5773$ - это эксцентриситет эллипса.

Приблизительные координаты фокусов

F₁(≈0,5-0,763763; -1) и F₂(≈0,5+0,763763; -1)

F₁(≈ -0,263763; -1) и F₂(≈1,263763; -1)

Координаты вершин эллипса

Левая вершина равна (≈0,5-1,323; -1) или (≈  -0,823; -1)

Правая вершина (≈0,5+1,323; -1) или (≈1,823; -1)

Верхняя вершина равна (0,5; -1+1,08) или (0,5; ≈0,08)

Нижняя вершина равна (0,5; -1-1,08) или (0,5; ≈ -2,08)

Директрисы эллипса

Нужно найти разность между правой вершиной и правым фокусом - это расстояние будет равно

1,823-1,263763=0,558237

Это расстояние - расстояние между соответствующими вершинами и директрисами.

Директрисы параллельны оси ординат.

Левая директриса будет равна разности между левой вершиной и 0,558237.

х≈ -0,823-0,559237  или х≈ -1,382237

Правая директриса будет равна сумме между правой вершиной и 0,558237.

х≈ 1,823+0,559237  или х≈ 2,382237

Answer 2

Чтобы преобразовать уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Перенести все члены на одну сторону уравнения, чтобы уравнение равнялось нулю.
2. Выполнить процесс завершения квадратов для переменных x и y.
3. Переписать уравнение в канонической форме кривой.

Итак, начнем с уравнения:

2x² + 3y² - 2x + 6y = 0

1. Перенесем все члены на одну сторону:

2x² - 2x + 3y² + 6y = 0

2. Выполним завершение квадратов для x и y:

Для x²: Добавим и вычтем (коэффициент при x в исходном уравнении / 2)² = (2/2)² = 1

Для y²: Добавим и вычтем (коэффициент при y в исходном уравнении / 2)² = (3/2)² = 9/4

2x² - 2x + 3y² + 6y = 0 2(x² - x + 1) + 3(y² + 2y + 9/4) = 0

Теперь перепишем уравнение:

2(x² - x + 1) + 3(y² + 2y + 9/4) = 0

3. Переведем уравнение в каноническую форму:

2(x² - x) + 3(y² + 2y) + 3 = 0

Теперь поделим оба коэффициента при x и y на число, стоящее перед соответствующими квадратичными выражениями (это нужно для выражения этих выражений в виде суммы полных квадратов):

(x² - x) + (y² + 2y) + 3/2 = 0

Чтобы закончить каноническую форму, выразим x и y в квадратных выражениях:

(x² - x + 1/4) + (y² + 2y + 1) = 3/2 + 1/4

Теперь сгруппируем выражения с x и y:

(x - 1/2)² + (y + 1)² = 7/4

Теперь у нас уравнение канонической формы кривой:

(x - 1/2)² + (y + 1)² = 7/4

Теперь кривая имеет канонический вид окружности с центром в точке (1/2, -1) и радиусом sqrt(7)/2.

Мы нашли параметры, определяющие данную линию: центр окружности (1/2, -1) и радиус sqrt(7)/2.