Question

Мне нужно полностью исследовать функцию y=x^2/x^2-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции y = x^2 / (x^2 - 1), мы должны провести анализ её свойств, таких как область определения, асимптоты, интервалы возрастания и убывания, экстремумы и поведение на бесконечности. Давайте начнем с этого:

1. Область определения (Domain): Функция определена для всех значений x, за исключением тех, которые делают знаменатель равным нулю, так как деление на ноль недопустимо. Таким образом, x^2 - 1 ≠ 0. Решим уравнение x^2 - 1 = 0: x^2 - 1 = 0 (x + 1)(x - 1) = 0 x = -1 или x = 1

Таким образом, область определения функции y = x^2 / (x^2 - 1) - это все значения x, кроме x = -1 и x = 1.

2. Асимптоты: Посмотрим на поведение функции при x, стремящемся к бесконечности.

Когда x стремится к бесконечности (положительной или отрицательной), знаменатель становится гораздо больше числителя, и функция стремится к нулю: lim (x→±∞) x^2 / (x^2 - 1) = 0

Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = 0 при x, стремящемся к бесконечности.

3. Интервалы возрастания и убывания: Для этого вычислим производную функции и найдем значения x, при которых производная равна нулю:

y = x^2 / (x^2 - 1)

y' = d/dx [x^2 / (x^2 - 1)] y' = (2x * (x^2 - 1) - x^2 * 2x) / (x^2 - 1)^2 y' = (2x^3 - 2x - 2x^3) / (x^2 - 1)^2 y' = (-2x) / (x^2 - 1)^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

-2x = 0 x = 0

Таким образом, критическая точка находится при x = 0.

Теперь построим таблицу знаков производной, чтобы определить интервалы возрастания и убывания:

x	(-2x) / (x^2 - 1)^2
x < -1	+
-1 < x < 0	-
0	0
0 < x < 1	+
x > 1	-

Исходя из таблицы знаков, функция возрастает на интервалах x < -1 и 0 < x < 1, а убывает на интервалах -1 < x < 0 и x > 1.

4. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, решим уравнение производной, равное нулю:

(-2x) / (x^2 - 1)^2 = 0

Это уравнение не имеет действительных корней, так как знаменатель всегда положителен за исключением точек x = -1 и x = 1, которые не являются допустимыми значениями функции.

Следовательно, у функции нет экстремумов на вещественной оси.

Теперь мы имеем полное представление о функции y = x^2 / (x^2 - 1). Область определения - все значения x, кроме x = -1 и x = 1. У функции есть горизонтальная асимптота y = 0 при x, стремящемся к бесконечности. Функция возрастает на интервалах x < -1 и 0 < x < 1, а убывает на интервалах -1 < x < 0 и x > 1. У функции нет экстремумов на вещественной оси.