Question

На доске записаны 2017 двоек, 2018 троек и 2019 четверок. Разрешается стереть любые две цифры и написать вместо них третью: вместо 2 и 3 – 4, вместо 3 и 4 – 2, вместо 2 и 4 – 3. После многократного повторения этих операций на доске осталась одна цифра. Какая? очень подробненько, пож)

Answer 1

Ответ: 3

Пошаговое объяснение:

Обозначим сумму всех чисел через S. Проверим как она изменяется после стирания пары чисел:

Если стираем 2 и 3 и записываем 4, то сумма становится S - 1.

Если стираем 3 и 4 и записываем 2, то сумма становится S - 5.

Если стираем 2 и 4 и записываем 3, то сумма становится S - 3.

Сумма меняется по-разному, но одно неизменно - после каждого стирания сумма меняет свою четность: если была четной, то после вычитания любого нечетного числа (1, 3, 5) становится нечетной и наоборот, если была нечетной, то становится четной.

Посчитаем четность нашей суммы в начале, до всех стираний:

S = 2017 * 2 + 2018 * 3 + 2019 * 4 = 18164

Т.е. в начале сумма всех чисел четная.

Посчитаем, сколько стираний мы проведем до того, как останется одно число.

В начале чисел было N = 2017 + 2018 + 2019 = 6054, а в конце останется 1. Значит мы проведем 6053 стирания. Следовательно в конце, когда останется одно число, сумма наших чисел будет нечетной.

Единственное нечетное число в нашем наборе 3, значит при любом порядке стирания в конце всегда останется цифра 3.

Answer 2

Давайте разберемся подробнее в этой задаче.

Исходные данные:

• 2017 двоек (цифра 2);
• 2018 троек (цифра 3);
• 2019 четверок (цифра 4).

Цель: найти цифру, которая останется на доске после нескольких операций стирания и записи.

Правила:

• Можно стереть любые две цифры и записать вместо них третью:
  • 2 и 3 стираются, записывается 4;
  • 3 и 4 стираются, записывается 2;
  • 2 и 4 стираются, записывается 3.

Процесс решения:

1. Посмотрим, какие числа можно получить путем замены двух цифр на третью:

   • 2 и 3 -> 4;
   • 3 и 4 -> 2;
   • 2 и 4 -> 3.

2. Заметим, что замена двух цифр не меняет четности количества цифр 2, 3 и 4 на доске. В каждой операции стирания и записи на доске останется одна цифра, и эта цифра может быть только одной из следующих: 2, 3 или 4.

3. Рассмотрим четность количества каждой цифры на доске:

   • Изначально было:
     • 2017 двоек (четное количество);
     • 2018 троек (четное количество);
     • 2019 четверок (нечетное количество).

4. Рассмотрим возможные сценарии для каждого действия:

   • 2 и 3 стираются, записывается 4:
     • двоек: 2017 - 2 = 2015 (нечетное количество);
     • троек: 2018 - 2 = 2016 (четное количество);
     • четверок: 2019 + 1 = 2020 (четное количество).
   • 3 и 4 стираются, записывается 2:
     • двоек: 2017 + 1 = 2018 (четное количество);
     • троек: 2018 - 2 = 2016 (четное количество);
     • четверок: 2019 - 2 = 2017 (нечетное количество).
   • 2 и 4 стираются, записывается 3:
     • двоек: 2017 - 2 = 2015 (нечетное количество);
     • троек: 2018 + 1 = 2019 (нечетное количество);
     • четверок: 2019 - 2 = 2017 (нечетное количество).

5. Все возможные сценарии приводят к тому, что количество каждой цифры на доске остается неизменным, а именно:

   • 2015 двоек (нечетное количество);
   • 2016 троек (четное количество);
   • 2017 четверок (нечетное количество).

6. Так как количество каждой цифры остается неизменным, и ни одна цифра не исчезает, на доске остаются все три цифры: 2, 3 и 4.

Ответ: на доске останется все три цифры – 2, 3 и 4.