Question

Корни уравнения x^2-(a+14)x+a^2=0 (a>0) таковы, что x1=9x2.найдите больший корень уравнения

Answer 1

По теореме Виета: х1+х2=а+14 и х1х2=а^2. Решаем систему:
10х2=а+14
9х2^2=а^2. следовательно, х2=а:3 или х2=-а:3(не удовлетворяет по условию, что а - больше нуля).
Подставляем:
10х2-3х2=14
7х2=14
х2=2, следовательно, х1=18.
Ответ: 18

Answer 2

Для решения уравнения, давайте найдем корни x₁ и x₂ и воспользуемся условием, что x₁ = 9x₂.

Уравнение имеет вид: x² - (a + 14)x + a² = 0

Для нахождения корней, воспользуемся формулой квадратного корня: Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, корни определяются следующим образом: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -(a + 14), c = a².

x = (-(a + 14) ± √((a + 14)² - 4a²)) / 2

x = (-(a + 14) ± √(a² + 28a + 196 - 4a²)) / 2

x = (-(a + 14) ± √(28a + 196 - 3a²)) / 2

Теперь учитываем условие x₁ = 9x₂:

9x₂ = (-(a + 14) ± √(28a + 196 - 3a²)) / 2

Умножаем обе части на 2:

18x₂ = -(a + 14) ± √(28a + 196 - 3a²)

Теперь разберем два случая (±):

1. 18x₂ = -(a + 14) + √(28a + 196 - 3a²)

2. 18x₂ = -(a + 14) - √(28a + 196 - 3a²)

Теперь разрешим уравнения относительно x₂:

1. x₂ = (-(a + 14) + √(28a + 196 - 3a²)) / 18

2. x₂ = (-(a + 14) - √(28a + 196 - 3a²)) / 18

Так как у нас a > 0, убедимся, что у нас нет отрицательных значений под корнем.

28a + 196 - 3a² ≥ 0

Теперь решим это неравенство:

3a² - 28a - 196 ≤ 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

a₁ = (28 + √(28² - 4 * 3 * (-196))) / 6 a₂ = (28 - √(28² - 4 * 3 * (-196))) / 6

a₁ ≈ 8.632 a₂ ≈ 0.735

Так как a > 0, то подходит только значение a ≈ 8.632.

Теперь можем найти больший корень уравнения, подставив значение a обратно в уравнение для x₂:

x₂ = (-(8.632 + 14) + √(28 * 8.632 + 196 - 3 * 8.632²)) / 18 x₂ = (-22.632 + √(236.496)) / 18 x₂ ≈ (-22.632 + 15.39) / 18 x₂ ≈ -7.242 / 18 x₂ ≈ -0.402

Теперь, чтобы найти x₁, умножим x₂ на 9:

x₁ = 9 * (-0.402) x₁ ≈ -3.618

Таким образом, больший корень уравнения -3.618.