Question

Помогите, люди добрые) Покажите, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. ---------------------------------Векторы: a ( 1, 3, 2 )b ( 1, 4, 3 )c ( 3, -2, -4)d ( -3, 1, 3 )

Answer 1

$\left|\begin{array}{ccc}1&3&2\\1&4&3\\3&-2&-4\end{array}\right| = 1$ => Эти векторы не компланарны => они образуют базис

Найдем теперь координаты вектора d

Решаем систему уравнений $\left\{ \begin{array}{ccc}1*x+ 1*y + 3*z = - 3\\3*x + 4*y + (-2)*z = 1\\2*x + 3*y+ (-4)*z = 3\end{array}\right$

Получаем x = 1, y= -1, z= -1

т.е. d = a - b  - c

Answer 2

Чтобы показать, что векторы a, b, c образуют базис, нужно проверить два условия:

1. Векторы линейно независимы: это означает, что никакая из данных векторов не может быть выражена в виде линейной комбинации других векторов.

2. Векторы порождают всё пространство: это означает, что любой вектор в данном трехмерном пространстве может быть представлен как линейная комбинация данных векторов.

Для проверки линейной независимости можно записать векторы в виде матрицы и привести её к ступенчатому виду или редуцированному ступенчатому виду. Если в редуцированной матрице нет строк с нулевыми значениями, то векторы линейно независимы. Если векторы линейно независимы, то они образуют базис.

Представим данные векторы в виде матрицы:

cssCopy code
[ 1  1  3 ]
[ 3  4 -2 ]
[ 2  3 -4 ]

Приведем матрицу к редуцированному ступенчатому виду:

cssCopy code
[ 1  0   1 ]
[ 0  1  -2 ]
[ 0  0   0 ]

Так как редуцированная матрица содержит строки с ненулевыми значениями, то векторы a, b, c линейно независимы и образуют базис.

Теперь найдем координаты вектора d в этом базисе.

Представим вектор d в виде линейной комбинации векторов a, b, c:

cssCopy code
d = α * a + β * b + γ * c

где α, β, γ - коэффициенты, которые нам нужно найти.

Подставим значения векторов и вектора d:

cssCopy code
[-3]     [ 1]     [ 1  3  2 ] [α]
[ 1]  =  [ 4]  +  [ 1  4  3 ] [β]
[ 3]     [ 3]     [ 3 -2 -4 ] [γ]

Теперь решим систему уравнений:

Copy code
α + β + 3γ = -3
3α + 4β - 2γ = 1
2α + 3β - 4γ = 3

Решив данную систему уравнений, найдем значения коэффициентов α, β, γ:

Copy code
α = 2
β = -1
γ = -1

Таким образом, координаты вектора d в базисе {a, b, c} равны (2, -1, -1).