Question

Комплексные числа: Решить уравнение

Answer 1

$z^{2}=i\\(a+bi)^{2}=i\\a^{2}+2abi+(bi)^{2}=i\\a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}=i\\a^{2}+2abi+b^{2}(-1)=i\\a^{2}+2abi-b^{2}=i\\(a^{2}-b^{2})+2abi-i=0\\(a^{2}-b^{2})+(2ab-1)i=\\(a^{2}-b^{2})+(2ab-1)i=0+0i \\ \\ a^{2}-b^{2}=0\\a^{2}=b^{2}\\a=\pm\sqrt{b^{2}}\\a=\pm b \\ \\ 2ab-1=0\\2b*b-1=0\\2b^{2}-1=0\\2b^{2}=1\\b^{2}=1/2\\b=\pm\sqrt{1/2}\\b=\pm\sqrt{2}/2 \\ \\a=\pm\sqrt{2}/2 \\ z=(\sqrt{2}/2)+(\sqrt{2}/2)i \\ z=-(\sqrt{2}/2)-(\sqrt{2}/2)i$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение с комплексными числами. Уравнение может выглядеть так:

$ax^2 + bx + c = 0,$

где $a$, $b$ и $c$ - это коэффициенты уравнения, причем $a \neq 0$.

Для решения такого уравнения используется формула дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac.$

Если $D > 0$, уравнение имеет два различных вещественных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}.$

Если $D = 0$, уравнение имеет один вещественный корень:

$x = \frac{-b}{2a}.$

Если $D < 0$, уравнение имеет два комплексных корня, которые являются сопряженными друг другу:

$x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a},$

где $i$ - мнимая единица, $i^2 = -1$.

Давайте рассмотрим пример уравнения и найдем его корни. Предположим, у нас есть уравнение:

$x^2 + 4x + 5 = 0.$

Сначала найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4.$

Поскольку $D < 0$, у нас есть два комплексных корня:

$x_1 = \frac{-4 + i\sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2i}{2} = -2 + i,$

$x_2 = \frac{-4 - i\sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2i}{2} = -2 - i.$

Таким образом, корни уравнения $x^2 + 4x + 5 = 0$ - это $x_1 = -2 + i$ и $x_2 = -2 - i$. Оба корня являются комплексными числами.