Question

Докажите, что если в треугольнике АВС точка О есть центр описанной окружности, Н- точка пересечения высот, то вектор ОН равен сумме векторов ОА, ОВ и ОС.( теорема Гамильтона).

Answer 1

                             Решение : ////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства теоремы Гамильтона о треугольнике, нужно воспользоваться понятием скалярного произведения и свойствами описанной окружности.

Пусть треугольник ABC имеет описанную окружность с центром O. Пусть H - точка пересечения высот (точка, в которой высоты треугольника пересекаются). Мы хотим доказать, что вектор OH равен сумме векторов OA, OB и OC.

1. Начнем с определения описанной окружности: Для точки O, являющейся центром описанной окружности, расстояния от O до каждой из вершин треугольника равны: |OA| = |OB| = |OC| = R (где R - радиус описанной окружности).

2. Докажем, что вектор OH перпендикулярен векторам AB, BC и CA:

• Векторное произведение AB и AC равно нулю, так как они лежат в плоскости треугольника и образуют угол 180 градусов. Таким образом, AB и AC перпендикулярны.
• Аналогично можно доказать, что BC перпендикулярно BA и BC перпендикулярно.

3. Докажем, что вектор OH - это сумма векторов OA, OB и OC:

• Рассмотрим векторную сумму OA + OB + OC. Это вектор, исходящий из точки O и заканчивающийся в точке H (см. определение высот). Таким образом, эта векторная сумма равна вектору OH.
• Так как векторы OA, OB и OC перпендикулярны сторонам треугольника, их сумма даст вектор, исходящий из O и заканчивающийся в H.

Таким образом, мы доказали, что вектор OH равен сумме векторов OA, OB и OC, что завершает доказательство теоремы Гамильтона о треугольнике.