Question

Найдите ВСЕ натуральные Х, для которых 3Х+1 и 6Х-2 - точные квадраты, а число 6*(X^2)-1 - простое.

Answer 1

Допустим, есть натуральное число n. Его квадрат -- это $n^{2}$. По условию, $3x+1=n^{2}$ и $6x-2=n^{2}$. Так как правые части равны, приравняем левые части и найдём икс:

$3x+1=6x-2 \\ 3x=3 \\ x=1$.

При x=1 получаем: 3*1+1=4 и 6*1-2=4. Четыре -- это точный квадрат двойки. А число 6*1*1-1=5 -- простое. Значит, число 1 удовлетворяет всем трём условиям.

Таких натуральных чисел больше не существует. При решении уравнения мы получили лишь один корень -- единицу. Можно методом подбора по ряду квадратов найти ещё корни. Какие-то из них будут соответствовать одному условию, какие-то -- одновременно двум (первому и второму, или первому и третьему, или второму и третьему). Но не найдётся ни одного числа, которое одновременно удовлетворяло бы сразу трём условиям.

Ответ: x=1.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым условием по отдельности.

1. Чтобы 3Х+1 было точным квадратом, значит, существует такое натуральное число k, что:

3Х + 1 = k^2.

Решим это уравнение:

3Х = k^2 - 1.

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить с учетом того, что X - натуральное число. Если рассмотреть возможные значения k, то у нас есть:

k = 2: 3Х = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3, что невозможно для натурального X. k = 3: 3Х = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8, что невозможно для натурального X. k = 4: 3Х = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15, что также невозможно для натурального X. k = 5: 3Х = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24, что также невозможно для натурального X.

Видим, что ни одно из значений k не приводит к натуральному X, удовлетворяющему условию 3Х+1 - точный квадрат.

2. Теперь рассмотрим условие 6Х-2 - точный квадрат:

6Х - 2 = m^2.

Решим это уравнение:

6Х = m^2 + 2.

Также рассмотрим возможные значения m:

m = 2: 6Х = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6, что соответствует X = 1. m = 3: 6Х = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11, что не является точным квадратом.

Мы нашли одно значение X, которое удовлетворяет условию 6Х-2 - точный квадрат: X = 1.

3. Теперь посмотрим на условие 6*(X^2) - 1 - простое число.

Для X = 1:

6*(1^2) - 1 = 6 - 1 = 5.

Число 5 является простым, так что X = 1 удовлетворяет последнему условию.

Таким образом, натуральным числом, удовлетворяющим всем условиям задачи, является X = 1.