Question

Найти предел функции lim x->+∞(x^2+2^x)/(3*x^3-1)

Answer 1

Ответ:

+∞

Пошаговое объяснение:

lim x->+∞ (x^2+2^x)/(3*x^3-1) = ∞ /∞ =

применим правило Лопиталя ТРИ раза

= lim x->+∞ (x^2+2^x)'''/(3*x^3-1)''' =

= lim x->+∞  2^x*ln^3(2) / 18 = ln^3(2) / 18 * lim x->+∞  2^x* = +∞

Answer 2

Для нахождения предела функции lim x->+∞(x^2 + 2^x) / (3*x^3 - 1), нужно проанализировать поведение функции при стремлении x к плюс бесконечности.

Для определения предела можно использовать правило Лопиталя, если функция находится в неопределенной форме "∞ / ∞" или "0 / 0".

Подставим x = +∞ в выражение:

lim x->+∞(x^2 + 2^x) / (3*x^3 - 1)

При x = +∞:

1. x^2 растет быстрее, чем 2^x, поскольку степенная функция с положительным показателем быстрее экспоненциальной функции. Таким образом, x^2 доминирует над 2^x.

2. 3*x^3 также растет быстрее, чем 1, когда x стремится к плюс бесконечности.

Таким образом, при подстановке x = +∞ в выражение получаем бесконечность деленную на бесконечность, что является неопределенной формой.

Применим правило Лопиталя:

Для применения правила Лопиталя возьмем производные числителя и знаменателя:

Первая производная числителя: d/dx(x^2 + 2^x) = 2x + ln(2) * 2^x Первая производная знаменателя: d/dx(3*x^3 - 1) = 9x^2

Теперь вычислим предел отношения производных при x стремящемся к плюс бесконечности:

lim x->+∞ (2x + ln(2) * 2^x) / (9x^2)

Опять получаем неопределенную форму "∞ / ∞", поэтому продолжим применять правило Лопиталя.

Вторая производная числителя: d^2/dx^2 (2x + ln(2) * 2^x) = 2 + ln(2)^2 * 2^x Вторая производная знаменателя: d^2/dx^2 (9x^2) = 18x

Вычислим предел отношения вторых производных при x стремящемся к плюс бесконечности:

lim x->+∞ (2 + ln(2)^2 * 2^x) / (18x)

Подставим x = +∞:

lim x->+∞ (2 + ln(2)^2 * 2^x) / (18x) = 2 / (18x)

Теперь при x стремящемся к плюс бесконечности, выражение сходится к нулю.

Таким образом, исходная функция имеет предел:

lim x->+∞ (x^2 + 2^x) / (3*x^3 - 1) = 0