Question

Найдите область определения функции f(x)=√x^2−3x−10/x^4-9x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти область определения функции f(x), нужно определить значения x, при которых функция будет определена и не приведет к делению на ноль или выражению под корнем отрицательного числа.

Функция f(x) задана следующим образом:

f(x) = √(x^2 - 3x - 10) / (x^4 - 9x^2)

1. Ограничения корня: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: x^2 - 3x - 10 ≥ 0

2. Ограничения знаменателя: Знаменатель не должен быть равен нулю: x^4 - 9x^2 ≠ 0

Давайте рассмотрим каждое ограничение по отдельности:

1. Ограничение корня: Для определения, когда выражение под корнем неотрицательно, решим неравенство:

x^2 - 3x - 10 ≥ 0

Для решения данного квадратного неравенства, можно найти корни уравнения x^2 - 3x - 10 = 0, а затем построить таблицу знаков:

(x - 5)(x + 2) = 0

Таким образом, корни уравнения: x = 5 и x = -2.

Построим таблицу знаков:

x < -2 : (-) * (-) - (-) = - < 0 (не удовлетворяет условию) -2 < x < 5: (-) * (+) - (-) = + > 0 (удовлетворяет условию) x > 5 : (+) * (+) - (+) = + > 0 (удовлетворяет условию)

Таким образом, функция f(x) определена при -2 < x < 5.

2. Ограничение знаменателя: Знаменатель не должен быть равен нулю:

x^4 - 9x^2 ≠ 0

Факторизуем знаменатель:

x^4 - 9x^2 = x^2(x^2 - 9) = x^2(x + 3)(x - 3)

Таким образом, знаменатель равен нулю при x = 0, x = 3 и x = -3.

Итак, функция f(x) определена при -2 < x < 0, 0 < x < 3 и x > 5.

Окончательная область определения функции f(x) - это пересечение всех найденных интервалов: -2 < x < 0 и 0 < x < 3 и x > 5.