Question

Х(х+1)(х+3)(х+4)=40. Помогите решить способом замены переменной

Answer 1

x*(x+1)*(x+3)*(x+4)=40
(x^2+x)*(x+3)*(x+4)=40
(x^3+3x^2+x^2+3x)*(x+4)=40
(x^3+4x^2+3x)*(x+4)=40
x^4+4x^3+4x^3+16x^2+3x^2+12x=40
x^4+8x^3×19^2+12x=40
x^4+8x^3+19x^2+12x-40=0
x^4-x^3+9x^3-9x^2+28x^2-28x+40x-40=0
x^3*(x-1)+9x^2*(x-1)+40(x-1)=0
(x-1)*(x^3+9x^2+28x+40)=0
(x-1)*(x^3+5x^2+4x^2+20x+8x+40)=0
(x-1)*(x^2*(x+5)×4x*(x+5)+8(x+5))=0
(x-1)*(x+5)*(x^2+4x+8)=0
x-1=0
x+5=0
x^2+4x+8=0
x=1
x=-5

x1=-5
x2=1

Answer 2

Хорошо, давайте решим уравнение с помощью замены переменной. Для этого выполним следующую замену: пусть $y = x + \frac{5}{2}$.

Теперь заменим $x$ в исходном уравнении на $y$:

$(y - \frac{5}{2})(y - \frac{5}{2} + 1)(y - \frac{5}{2} + 3)(y - \frac{5}{2} + 4) = 40$.

Упростим:

$(y - \frac{5}{2})(y + \frac{3}{2})(y + \frac{5}{2})(y + \frac{7}{2}) = 40$.

Теперь у нас получилось кубическое уравнение относительно $y$. Решим его:

$y^3 + \frac{25}{4}y^2 - \frac{25}{16}y - \frac{175}{64} = 0.$

Теперь давайте решим это уравнение. Обратите внимание, что здесь можно применить рациональный корень и найти один из корней, чтобы упростить решение. Можно заметить, что $y = \frac{5}{2}$ является корнем этого уравнения.

Теперь разделим уравнение на $(y - \frac{5}{2})$:

$(y - \frac{5}{2})(y^2 + \frac{15}{4}y + \frac{35}{16}) = 0.$

Теперь решим квадратное уравнение:

$y^2 + \frac{15}{4}y + \frac{35}{16} = 0.$

Приведем к общему знаменателю и умножим на 16:

$16y^2 + 60y + 35 = 0.$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или факторизации. Факторизуем его:

$(4y + 5)(4y + 7) = 0.$

Таким образом, получаем два корня:

1. $4y + 5 = 0$ $4y = -5$ $y = -\frac{5}{4}$

2. $4y + 7 = 0$ $4y = -7$ $y = -\frac{7}{4}$

Теперь, чтобы найти значения $x$, заменим обратно $y$ на $x + \frac{5}{2}$:

1. $y = x + \frac{5}{2}$ $x + \frac{5}{2} = -\frac{5}{4}$ $x = -\frac{5}{4} - \frac{5}{2}$ $x = -\frac{15}{4}$

2. $y = x + \frac{5}{2}$ $x + \frac{5}{2} = -\frac{7}{4}$ 0 0