Question

Исследуйте на монотонность и найдите экстремумы: у=-х^3/3+х^2+3х-11/3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования на монотонность и нахождения экстремумов функции у = -х^3/3 + х^2 + 3х - 11/3, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Анализировать знак производной и определить интервалы возрастания и убывания функции.
4. Найти точки перегиба, если они есть.

Шаг 1: Найдем производную функции у по переменной х: у' = d/dx(-х^3/3 + х^2 + 3х - 11/3) у' = -x^2 + 2x + 3

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решим уравнение: -x^2 + 2x + 3 = 0

Чтобы решить это уравнение, давайте воспользуемся квадратным уравнением или завершим квадрат: -x^2 + 2x + 3 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 3 и x = -1.

Шаг 3: Анализ знака производной на интервалах. Для этого построим знаковую таблицу, подставив критические точки и дополнительные точки на интервалах (-бесконечность, -1), (-1, 3) и (3, +бесконечность):

Интервалы	(-∞, -1)	(-1, 3)	(3, +∞)
у' (знак)	+	-	+
у (монотон.)	Возр.	Убыв.	Возр.

Таким образом, функция у возрастает на интервале (-∞, -1), убывает на интервале (-1, 3) и снова возрастает на интервале (3, +∞).

Шаг 4: Найдем точки перегиба, если они есть. Для этого найдем вторую производную функции у: у'' = d/dx(-x^2 + 2x + 3) у'' = -2x + 2

Теперь приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: -2x + 2 = 0 -2x = -2 x = 1

Подставим x = 1 в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y: у = -х^3/3 + х^2 + 3х - 11/3 у(1) = -1/3 + 1 + 3 - 11/3 у(1) = 3 - 11/3 у(1) = 2/3

Таким образом, точка перегиба находится в (1, 2/3).

Итак, после анализа наших результатов, мы можем сделать выводы о монотонности и экстремумах функции:

• Функция у возрастает на интервале (-∞, -1).
• Функция у убывает на интервале (-1, 3).
• Функция у возрастает на интервале (3, +∞).
• Есть одна точка перегиба у (1, 2/3).

Обратите внимание, что мы еще не проверили граничные условия, например, поведение функции на бесконечности. Это также важно учитывать при анализе функции.