Question

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Answer 1

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
Числа, представляющие собой квадраты чисел, при умножении так же дадут точный квадрат
Сразу вычеркиваем простые числа, так как в этом наборе чисел они при умножении не дадут точный квадрат.
8=2•4
9=3•3 - квадрат
10=2•5
11=1•11 вычеркиваем сразу
12=2•2•3
13=1•13 вычеркиваем сразу
14=2•7 - вычеркиваем (смотрите ниже сноску «*»)
15=3•5
16=4•4 - квадрат
17=1•17 - вычеркиваем сразу

* Вычеркиваем также числа, в разложении которых на сомножители которых есть неповторяющиеся числа. В нашем случае это 14=2•7. 2 мы видим в других произведениях, а 7 встречаем только один раз.

Остаются числа:
8=2•4
9=3•3 - квадрат
10=2•5
12=2•2•3
14=2•7
15=3•5
16=4•4 - квадрат

Отделим квадраты 9 и 16 и оставим следующие числа:
8=2•4
10=2•5
12=2•2•3
15=3•5
Мы видим, что при перемножении этих чисел мы видим два числа 3, два числа 5, четыре числа 2 и одно число 4, которое само по себе является квадратом числа 2. Это значит, что при перемножении эти числа дадут точный квадрат:
8•10•12•15 = 2•2•2•2•3•3•4•5•5 = 16•9•4•25 =
= 16•9•100 = 144•100 = 14400

Умножим это число на 9 и 16, которые мы сразу отметили, как готовый квадрат:
14400•9•16 = 2073600

Проверим:
√2073600 = 1440

Итак, мы из ряда, представленного в условии задачи вычеркиваем минимум 4 числа 11, 13, 14, 17.

Их сумма:
11+13+14+17 =55

Ответ: 55

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти все простые числа в диапазоне от 8 до 17 включительно и вычеркнуть их, чтобы произведение оставшихся чисел было точным квадратом.

Простые числа в данном диапазоне: 11, 13, 17.

Теперь нужно вычеркнуть как можно меньше из этих чисел. Обратим внимание, что 17 - самое большое из них и оно является единственным числом, которое возводится в квадрат (в данном диапазоне).

Таким образом, чтобы произведение оставшихся чисел было точным квадратом, нужно вычеркнуть только число 17.

Ответ: 17.