Question

1. Нужно упаковать несколько книг. Если их связать по две, то останется одна лишняя книга, если по три, то – две книги, если по четыре, останется три книги. Найди наименьшее число книг, которое нужно упаковать.

Answer 1

По одной книге надо связать

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться китайской теоремой об остатках. Давайте обозначим число книг, которое нужно упаковать, за N.

Условия задачи можно представить в виде следующей системы сравнений:

N ≡ 1 (mod 2) N ≡ 2 (mod 3) N ≡ 3 (mod 4)

Теперь найдем наименьшее число N, удовлетворяющее этой системе.

1. Решим первые два уравнения: N ≡ 1 (mod 2) -> N = 2k + 1 N ≡ 2 (mod 3) -> 2k + 1 ≡ 2 (mod 3) -> 2k ≡ 1 (mod 3) -> k ≡ 2 (mod 3) -> k = 3m + 2 Теперь подставим k обратно в первое уравнение: N = 2k + 1 = 2(3m + 2) + 1 = 6m + 5

2. Теперь решим систему из двух уравнений: N ≡ 1 (mod 2) N ≡ 3 (mod 4)

N = 4n + 3 (из второго уравнения)

3. Теперь объединим две последние системы:

N = 6m + 5 N = 4n + 3

Используя китайскую теорему об остатках, найдем общее решение системы:

N ≡ a (mod 6*4) где a - некоторое число

Теперь найдем такое значение a, при котором N будет минимальным:

Минимальное значение N будет наименьшим положительным числом, удовлетворяющим этому уравнению. В данном случае, наименьшее такое значение будет a = 11.

Таким образом, наименьшее число книг, которое нужно упаковать, равно:

N = 6m + 5 = 4n + 3 = 24p + 11

Где m, n, p - целые числа. Если выразить N через переменную p, то получим бесконечное множество решений. Например:

N = 11, 35, 59, 83, 107, ... и так далее.