Question

Найдите то значение ⁴√-4 , главное значение аргумента которого максимально. В ответе укажите его вещественную часть

Answer 1

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{-4}\\\\z=-4+0\cdot i\; \; \to \; \; |z|=\sqrt{(-4)^2+0^2}=4\\\\cos\varphi =-1\; \; ,\; \; sin\varphi =0\; \; \Rightarrow \; \; \varphi =\pi \\\\z=4\cdot (cos\pi +i\, sin\pi )\\\\\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{4}\cdot \Big (cos\frac{\pi +2\pi k}{4}+i\cdot sin\frac{\pi +2\pi k}{4}\Big )\; ,\; k=0,1,2,3;\; \sqrt[4]4=\sqrt[4]{2^2}=\sqrt2\\\\k=0:\; w_0=\sqrt[4]4\cdot \Big (cos\frac{\pi }{4}+i\cdot sin\frac{\pi }{4}\Big )\; ,\; w_0=\sqrt2\cdot (\frac{\sqrt2}{2}+i\cdot \frac{\sqrt2}{2})=1+i\\\\k=1:\; w_1=\sqrt[4]4\cdot \Big (cos\frac{3\pi }{4}+i\cdot sin\frac{3\pi }{4}\Big )\; ,\; w_1=\sqrt2\cdot (-\frac{\sqrt2}{2}+i\cdot \frac{\sqrt2}{2})=-1+i$

$k=2:\; w_2=\sqrt[4]4\cdot \Big (cos\frac{5\pi }{4}+i\cdot sin\frac{5\pi }{4}\Big )\; ,\; w_2=\sqrt2\cdot (-\frac{\sqrt2}{2}-i\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-1-i\\\\k=3:\; w_3=\sqrt[4]4\cdot \Big (cos\frac{7\pi }{4}+i\cdot sin\frac{7\pi }{4}\Big )\; ,\; w_3=\sqrt2\cdot (\frac{\sqrt2}{2}-i\cdot \frac{\sqrt2}{2})=1-i\\\\Otvet:\; \; Re\, w_3=\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=1\; .$

Answer 2

Для нахождения значения выражения ⁴√(-4) с главным значением аргумента, нужно представить комплексное число в тригонометрической форме и затем извлечь корень четвертой степени.

Сначала представим число -4 в тригонометрической форме:

-4 = 4 * cos(π) + 4 * i * sin(π)

Здесь π (пи) - это π радиан, а "i" - мнимая единица (√(-1)).

Теперь найдем главное значение аргумента для -4:

Аргумент arg(z) комплексного числа z в тригонометрической форме представляет собой угол между положительным направлением оси x и лучом, исходящим из начала координат и заканчивающимся на точке, представляющей комплексное число z.

Для -4 аргумент равен π (пи) радиан.

Теперь извлечем корень четвертой степени из модуля числа:

|⁴√(-4)| = |⁴√(4 * cos(π) + 4 * i * sin(π))| = |⁴√(4 * (cos(π) + i * sin(π)))|

Так как cos(π) = -1 и sin(π) = 0:

|⁴√(-4)| = |⁴√(4 * (-1) + 4 * i * 0)| = |⁴√(-4)| = |⁴√(-4)| = √4 = 2

Таким образом, значение ⁴√(-4) с главным значением аргумента максимально и равно 2. Его вещественная часть равна 2.