Question

Очень нужна помощь! Помогите решить производные функции! 1) f (x;y) =-6y^2 - 4x^2y - 4xy^3 в точке А( -1;2) в направлении, составляющиеся угол а=30 с положительным направлением оси 0x2) f (x;y) =y^2+3xy^2-x^4 в точке А (3;1) в направление вектора -> =(-1; 1) v

Answer 1

Ответ:

Вторая задача на фото

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения задачи о нахождении производной функции по направлению в заданной точке, необходимо использовать понятие градиента.

1. Для функции f(x, y) = -6y^2 - 4x^2y - 4xy^3 в точке А(-1, 2) в направлении, образующем угол а = 30° с положительным направлением оси Ox, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем частные производные функции f(x, y) по переменным x и y. ∂f/∂x = -8xy - 4y^3 ∂f/∂y = -12y^2 - 4x^2 - 12xy^2

Шаг 2: Найдем градиент функции f(x, y) в точке А(-1, 2). grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (-8xy - 4y^3, -12y^2 - 4x^2 - 12xy^2) = (-8(-1)(2) - 4(2)^3, -12(2)^2 - 4(-1)^2 - 12(-1)(2)^2) = (0, -52)

Шаг 3: Нормализуем вектор направления, чтобы получить единичный вектор в направлении заданного угла. Длина вектора -> = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2) Единичный вектор в направлении ->: ->_normalized = (->x/sqrt(2), ->y/sqrt(2)) = (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))

Шаг 4: Найдем производную функции f(x, y) по направлению вектора ->_normalized. Производная по направлению ->_normalized = grad(f) * ->_normalized = (0, -52) * (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) = 0 - 52/sqrt(2) = -52/sqrt(2)

Таким образом, производная функции f(x, y) по направлению в точке А(-1, 2) в направлении, образующем угол а = 30° с положительным направлением оси Ox, равна -52/sqrt(2).

2. Для функции f(x, y) = y^2 + 3xy^2 - x^4 в точке А(3, 1) в направлении вектора -> = (-1, 1), следует выполнить аналогичные шаги:

Шаг 1: Найдем частные производные функции f(x, y) по переменным x и y. ∂f/∂x = -4x^3 + 3y^2 ∂f/∂y = 2y + 6xy

Шаг 2: Найдем градиент функции f(x, y) в точке А(3, 1). grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (-4(3)^3 + 3(1)^2, 2(1) + 6(3)(1)) = (-99, 20)

Шаг 3: Нормализуем вектор направления, чтобы получить единичный вектор в направлении заданного вектора ->. Длина вектора -> = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2) Единичный вектор в направлении ->: ->_normalized = (->x/sqrt(2), ->y/sqrt(2)) = (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))

Шаг 4: Найдем производную функции f(x, y) по направлению вектора ->_normalized. Производная по направлению ->_normalized = grad(f) * ->_normalized = (-99, 20) * (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) = 99/sqrt(2) + 20/sqrt(2) = (99 + 20)/sqrt(2) = 119/sqrt(2)

Таким образом, производная функции f(x, y) по направлению вектора -> = (-1, 1) в точке А(3, 1) равна 119/sqrt(2).