Question

Доведіть що вираз x^2-12x+37 набуває додатних значень при всіх значеннях x ​

Answer 1

${x}^{2} - 12x + 36 + 1 \\ {(x - 6)}^{2} + 1$

выражение не может быть отрицательным, т.к. квадрат числа всегда положительный

Answer 2

Для того, щоб довести, що вираз $x^2 - 12x + 37$ набуває додатних значень при всіх значеннях $x$, ми повинні показати, що він завжди буде більше за нуль.

Давайте здійснимо повне квадратне доповнення для даного квадратного трьохчлена:

$x^2 - 12x + 37 = (x^2 - 12x + 36) + 37 - 36 = (x - 6)^2 + 1$

Тепер ми бачимо, що вираз $x^2 - 12x + 37$ може бути переписаний у вигляді $(x - 6)^2 + 1$.

Прибавляючи 1 до квадрату будь-якого числа $(x - 6)^2$, ми завжди отримаємо додатнє число або 0, оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом, а додавання 1 лише збільшує його на одиницю.

Отже, $(x - 6)^2 + 1$ завжди буде додатнім або дорівнюватиме нулю для всіх значень $x$.

Таким чином, вираз $x^2 - 12x + 37$ набуває додатних значень при всіх значеннях $x$.